Determine se as sequencias abaixo convergem. Justifique.
A n=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
A_n = \frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}.
O conteúdo principal é limites de sequência e, em particular, usar o limite notório \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n = e.

Passo 2

Reescrevemos A_n de forma a evidenciar fatores mais simples:
A_n = \frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}} = \frac{(n+1)^n}{n^n\;\cdot\;n} = \frac{1}{n}\,\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^n.

Passo 3

Calculamos separadamente os limites dos dois fatores:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0, \qquad \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^n = e.

Passo 4

Pelo teorema do produto de limites,
\lim_{n\to\infty}A_n = \Bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac1n\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n\Bigr) = 0\cdot e = 0.

Resposta

A sequência A_n converge, e seu limite é 0.

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