Dada o PVI
c y^prime=e^x+y, y(0)=0
Existe função passando pelo ponto (0,0) que é solução desse PVI? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI de primeira ordem
y' = e^x + y, y(0)=0
O conteúdo é solução de equação diferencial linear do tipo y' - y = e^x. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão:
y' - y = e^x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral -1,dx = e^-x
Multiplicando ambos os lados por mu(x), obtemos
e^-xy' - e^-xy = 1 Longrightarrow ddxl(y,e^-xr) = 1

Passo 3

Integramos em x:
y,e^-x = integral 1,dx = x + C,
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y = e^xl(x + Cr)

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=0, temos
0 = e^0(0 + C);Longrightarrow;C=0
Portanto a única solução do PVI é
y(x) = x,e^x

Passo 5

Como f(x,y)=e^x+y é contínua em (x,y) e Lipschitz em y (pois partial f/partial y=1 é limitada), o Teorema de Picard–Lindel"of garante exist’encia e unicidade da solu\c{c}~ao que passa por (0,0), estendendo-se para todo xinR.

Resposta

Sim. A única função que passa por (0,0) e resolve o PVI é
y(x) = x,e^x

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