Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Passo 1
O problema pede para decidir se cada uma das séries dadas converge ou diverge, usando testes de séries (p-série, comparação, razão, raiz, termo geral, etc.). Vamos aplicar o critério mais direto para cada caso.
Passo 2
Para a série
usamos o teste da raiz. Como
a série converge absolutamente.
Passo 3
Na série
observa-se o termo geral:
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge (critério do termo geral).
Passo 4
Para
fazemos frações parciais:
Isso gera soma telescópica cujo somatório parcial cresce como o harmônico
, logo diverge.
Passo 5
Em
notamos que
e a série harmônica diverge, então nossa série também diverge por comparação assintótica.
Passo 6
Na série
temos
um p-série de expoente
, logo converge.
Passo 7
Para
comparamos com
. Como
converge (p-série,
), nossa série converge por comparação.
Passo 8
Em
aplicamos o teste da razão:
então converge.
Passo 9
A série
é geométrica de razão
, logo converge.
Passo 10
Para
notamos que o termo geral
. Como isso reproduz a harmônica, a série diverge por comparação assintótica.
Passo 11
Em
temos
e
converge, então nossa série converge por comparação.
Passo 12
Para
escrevemos
Logo o termo
, e como
, converge por comparação.
Passo 13
Na série
usamos comparação-limite com
:
Como
(p=1) diverge, nossa série também diverge.
Resposta
a) converge (teste da raiz)
b) diverge (termo geral não nulo)
c) diverge (frações parciais/telescópica)
d) diverge (comparação com 1/n)
e) converge (p-série p=3/2)
f) converge (p-série p=2)
g) converge (teste da razão)
h) converge (série geométrica)
i) diverge (comparação com 1/n)
j) converge (comparação com 1/n^2)
k) converge (comparação com 1/n^{3/2})
l) diverge (comparação-limite com 1/n)
b) diverge (termo geral não nulo)
c) diverge (frações parciais/telescópica)
d) diverge (comparação com 1/n)
e) converge (p-série p=3/2)
f) converge (p-série p=2)
g) converge (teste da razão)
h) converge (série geométrica)
i) diverge (comparação com 1/n)
j) converge (comparação com 1/n^2)
k) converge (comparação com 1/n^{3/2})
l) diverge (comparação-limite com 1/n)