Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado:
a) sum 1 / n^n
b) sum(nn+1)^n
c) sum n+1n(n-1)
d) sum 1raizn(n+1)
e) sum 1raizn^2(n+1)
f) sum 3n^2+1
g) sumn=1^infty n2^n
h) sum 1 /(10^n)
i) sum n^2+3 n-7n^3-2 n+5
j) sum 3+cos nn^2
k) sum raizn+1-raiznn
l) sum n^1 / nn

Passo 1

O problema pede para decidir se cada uma das séries dadas converge ou diverge, usando testes de séries (p-série, comparação, razão, raiz, termo geral, etc.). Vamos aplicar o critério mais direto para cada caso.

Passo 2

Para a série sum 1/n^n usamos o teste da raiz. Como
limntoinfty raiz[n]1/n^n = limntoinfty 1/n = 0 < 1,
a série converge absolutamente.

Passo 3

Na série sum (n/(n+1))^n observa-se o termo geral:
limntoinfty l(nn+1r)^n = e^-1 neq 0
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge (critério do termo geral).

Passo 4

Para sum (n+1)/(n(n-1)) fazemos frações parciais:
n+1n(n-1) = 2n-1 - 1n
Isso gera soma telescópica cujo somatório parcial cresce como o harmônico HN, logo diverge.

Passo 5

Em sum 1/raizn(n+1) notamos que
1/raizn(n+1) sim 1/n,
e a série harmônica diverge, então nossa série também diverge por comparação assintótica.

Passo 6

Na série sum 1/raizn^2(n+1) = sum 1/(nraizn+1) temos
1/(nraizn+1) sim 1/n^3/2,
um p-série de expoente 3/2>1, logo converge.

Passo 7

Para sum 3/(n^2+1) comparamos com 3/n^2. Como sum 1/n^2 converge (p-série, p=2>1), nossa série converge por comparação.

Passo 8

Em sum n/2^n aplicamos o teste da razão:
limntoinfty (n+1)/2^n+1n/2^n = 12 < 1,
então converge.

Passo 9

A série sum 1/10^n é geométrica de razão 1/10<1, logo converge.

Passo 10

Para sum (n^2+3n-7)/(n^3-2n+5) notamos que o termo geral sim n^2/n^3 = 1/n. Como isso reproduz a harmônica, a série diverge por comparação assintótica.

Passo 11

Em sum (3+cos n)/n^2 temos
2/n^2 <= (3+cos n)/n^2 <= 4/n^2,
e sum 1/n^2 converge, então nossa série converge por comparação.

Passo 12

Para sum (raizn+1-raizn)/n escrevemos
raizn+1-raizn = 1raizn+1+raizn <= 12raizn
Logo o termo <= 1/(2n^3/2), e como p=3/2>1, converge por comparação.

Passo 13

Na série sum n^1/n/n usamos comparação-limite com 1/n:
limntoinfty n^1/n/n1/n = limntoinfty n^1/n = 1
Como sum 1/n (p=1) diverge, nossa série também diverge.

Resposta

a) converge (teste da raiz)
b) diverge (termo geral não nulo)
c) diverge (frações parciais/telescópica)
d) diverge (comparação com 1/n)
e) converge (p-série p=3/2)
f) converge (p-série p=2)
g) converge (teste da razão)
h) converge (série geométrica)
i) diverge (comparação com 1/n)
j) converge (comparação com 1/n^2)
k) converge (comparação com 1/n^{3/2})
l) diverge (comparação-limite com 1/n)

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