Dada a equação vetorial r(u, v)=(u cos v, u sen v, u^2) :
eliminar os parâmetros u e v determinando a equação cartesiana da superfície;

Passo 1

O enunciado dá a superfície paramétrica vec r(u,v)=(ucos v,,usin v,,u^2). O conteúdo da matéria é superfícies paramétricas e vamos precisar relacionar as coordenadas x,y,z com os parâmetros u,v e depois eliminá-los.

Passo 2

Das componentes temos x=ucos v e y=usin v. Elevando ao quadrado e somando identifica-se a relação trigonométrica
x^2+y^2=(ucos v)^2+(usin v)^2=u^2(cos^2v+sin^2v)=u^2
A terceira componente é z=u^2. Assim já temos uma expressão de u^2 em função de z.

Passo 3

Basta igualar as duas expressões de u^2:
x^2+y^2=z Essa é a equação cartesiana da superfície, que corresponde a um paraboloide circular.

Passo 4

Verificamos que não há dependência de v na equação final e que fica imposto z>=0 pela definição de u^2.

Resposta

z = x^2 + y^2

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