Se f(x)=\operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right), mostre que f^{\prime}(x)=\frac{-1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\arctan\!\biggl(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\biggr)
e pede f'(x).
Para isso vamos usar a regra da cadeia, sabendo que
  1. \frac{d}{du}\bigl[\arctan(u)\bigr]=\frac{1}{1+u^2},
  2. a derivada de \sqrt{v} é \tfrac{1}{2\sqrt{v}}\,v'.

Passo 2

Defina
u(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
de modo que
f(x)=\arctan\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^2}.

Passo 3

Para achar u'(x), ponha
v(x)=\frac{1-x}{1+x}, \quad u(x)=\sqrt{v(x)}=v(x)^{1/2}.
Então
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{v(x)}}\,v'(x).
E
v'(x) =\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} =\frac{-2}{(1+x)^2}.

Passo 4

Logo
u'(x) =\frac{1}{2\sqrt{v(x)}}\cdot\frac{-2}{(1+x)^2} =-\frac{1}{\sqrt{v(x)}\,(1+x)^2}.

Passo 5

Agora calculemos 1+u^2. Como u^2=v,
1+u^2 =1+\frac{1-x}{1+x} =\frac{1+x+1-x}{1+x} =\frac{2}{1+x}.

Passo 6

Substituindo em
f'(x)=\frac{u'(x)}{1+u^2}
temos
f'(x) =\frac{-1}{\sqrt{v(x)}\,(1+x)^2} \;\Big/\;\frac{2}{1+x} =-\frac{1}{2\,\sqrt{v(x)}\,(1+x)}.

Passo 7

Só resta notar que
\sqrt{v(x)}=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}},
então
\sqrt{v(x)}\,(1+x) =\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\,(1+x) =\sqrt{1-x}\,\sqrt{1+x} =\sqrt{1-x^2}.
Portanto
f'(x) =-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.

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