Verifique o valor para o qual as séries abaixo convergem indicando o critério usado:
Passo 1
O enunciado pede a soma da série
ou seja
O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa é uma série telescópica, para o que usaremos decomposição em frações parciais.
Passo 2
Definimos o termo geral
Para ver o telescópico, vamos escrever
como soma de frações mais simples.
Passo 3
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando em cruz:
Igualando coeficientes obtemos
Logo
Passo 4
O
-ésimo somatório é
Escrevendo os primeiros termos vemos o “efeito telescópico”:
Quase tudo cancela, sobrando
Passo 5
Para estudar convergência, tomamos o limite quando
:
Portanto a série convergente para
, pelo critério de série telescópica.
Resposta
A série converge para
, usando o critério de série telescópica via decomposição em frações parciais.