Verifique o valor para o qual as séries abaixo convergem indicando o critério usado:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{2 k+1}\right)\left(\frac{1}{2 k+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{2k+1}\right)\left(\frac{1}{2k+3}\right)
ou seja
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa é uma série telescópica, para o que usaremos decomposição em frações parciais.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_k = \frac{2}{(2k+1)(2k+3)}.
Para ver o telescópico, vamos escrever a_k como soma de frações mais simples.

Passo 3

Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}.
Multiplicando em cruz:
2 = A(2k+3) + B(2k+1) = (2A+2B)\,k + (3A + B).
Igualando coeficientes obtemos
2A + 2B = 0,\quad 3A + B = 2
\Rightarrow B = -A,\quad 3A - A = 2 \;\Rightarrow\; A = 1,\;B = -1.
Logo
a_k = \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}.

Passo 4

O n-ésimo somatório é
S_n = \sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\Bigr).
Escrevendo os primeiros termos vemos o “efeito telescópico”:
S_n = \Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\Bigr).
Quase tudo cancela, sobrando
S_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}.

Passo 5

Para estudar convergência, tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}\Bigr) = \frac{1}{3}.
Portanto a série convergente para \tfrac{1}{3}, pelo critério de série telescópica.

Resposta

A série converge para \displaystyle \frac{1}{3}, usando o critério de série telescópica via decomposição em frações parciais.

Exercícios relacionados