Decida se a séries dadas convergem / divergem
sumn=1^infty 11+n+n^2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty11+n+n^2
converge ou diverge.
O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação com uma p-série, pois para grandes n o termo geral tfrac11+n+n^2 se comporta como tfrac1n^2.

Passo 2

Lembrando que a p-série
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1. Aqui vamos comparar com p=2. Note que, para todo n>=1,
n^2 <= n^2 + n + 1 Longrightarrow 1n^2 + n + 1 <= 1n^2

Passo 3

Como
0 <= 11+n+n^2 <= 1n^2
e sabemos que sumn=1^infty1/n^2 converge (pois 2>1), pelo teste de comparação direta a série dada também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty11+n+n^2 converge.

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