Encontre os valores de
para os quais a série dada converge / diverge
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita
e precisa descobrir para quais valores de
essa série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de análise de séries, especialmente os testes de comparação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Para entender o comportamento dessa série, é bom ver como
se comporta quando
fica bem grande.
Passo 3
Quando
é muito grande, o termo
é quase igual a
, porque
domina o 1. Então, podemos aproximar:
Passo 4
Agora, a série está parecida com
. Sabemos que séries do tipo
convergem se e somente se
. Se
, a série diverge.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, temos
. Para a série
convergir, precisamos que:
Resolvendo para
:
Passo 6
Então, concluímos que a série
converge quando
é menor que
. Para valores de
maiores ou iguais a
, a série não converge.
Resposta
Portanto, a série
converge para valores de
e diverge para
.