Encontre os valores de p para os quais a série dada converge / diverge
sumn=1^infty n(1+n^2)^p

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita sumn=1^infty n(1+n^2)^p e precisa descobrir para quais valores de p essa série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de análise de séries, especialmente os testes de comparação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: an = n(1 + n^2)^p. Para entender o comportamento dessa série, é bom ver como an se comporta quando n fica bem grande.

Passo 3

Quando n é muito grande, o termo 1 + n^2 é quase igual a n^2, porque n^2 domina o 1. Então, podemos aproximar:
an approx n cdot (n^2)^p = n cdot n^2p = n^2p + 1

Passo 4

Agora, a série está parecida com sumn=1^infty n^2p + 1. Sabemos que séries do tipo sumn=1^infty n^k convergem se e somente se k < -1. Se k >= -1, a série diverge.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, temos k = 2p + 1. Para a série sumn=1^infty n^2p + 1 convergir, precisamos que:
2p + 1 < -1
Resolvendo para p:
2p < -2 implies p < -1

Passo 6

Então, concluímos que a série sumn=1^infty n(1+n^2)^p converge quando p é menor que -1. Para valores de p maiores ou iguais a -1, a série não converge.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty n(1+n^2)^p converge para valores de p < -1 e diverge para p >= -1.

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