Decida se a séries dadas convergem / divergem
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. O conteúdo envolve séries alternadas, isto é, aplicar o teste de Leibniz, e também verificar convergência absoluta via comparação com uma série
.
Passo 2
Definimos o termo geral positivo
Para qualquer série alternada
convergir pelo teste de Leibniz, precisamos de
-
, e -
deve ser monótona decrescente a partir de algum índice.
Vamos ao primeiro item:
Passo 3
Agora mostramos que
é decrescente para
suficientemente grande. Considere a função contínua
Sua derivada é
Para
, o numerador
é negativo, logo
. Assim
é decrescente para
e, em particular,
é decrescente para todo
.
Passo 4
Como
e
é (eventualmente) decrescente, pelo teste de Leibniz a série
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, observamos
Mas a série
é uma série
-com
, que diverge. Portanto
diverge, ou seja, a série original não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas diverge em módulo).