Decida se a séries dadas convergem / divergem
sumn=1^infty(-1)^n nraiz2+n^3

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty(-1)^n,nraiz2+n^3
converge ou diverge. O conteúdo envolve séries alternadas, isto é, aplicar o teste de Leibniz, e também verificar convergência absoluta via comparação com uma série p.

Passo 2

Definimos o termo geral positivo
an = nraiz2+n^3
Para qualquer série alternada sum(-1)^nan convergir pelo teste de Leibniz, precisamos de
  1. limntoinftyan=0, e
  2. an deve ser monótona decrescente a partir de algum índice.
    Vamos ao primeiro item:
limntoinftyan = limntoinftynraizn^3(1+2/n^3) = limntoinftynn^3/2,raiz1+2/n^3 = limntoinfty1n^1/2,raiz1+2/n^3 =0

Passo 3

Agora mostramos que an é decrescente para n suficientemente grande. Considere a função contínua
f(x)=xraizx^3+2, x>=1
Sua derivada é
f'(x) =raizx^3+2-3x^32raizx^3+2x^3+2 =2(x^3+2)-3x^32,(x^3+2)^3/2 =4-x^32,(x^3+2)^3/2
Para x> raiz[3]4approx1,59, o numerador 4-x^3 é negativo, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente para x>=2 e, em particular, an=f(n) é decrescente para todo n>=2.

Passo 4

Como anto0 e an é (eventualmente) decrescente, pelo teste de Leibniz a série
sumn=1^infty(-1)^nan
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, observamos
|(-1)^nan|=an sim nraizn^3 =1n^1/2
Mas a série sum1/n^1/2 é uma série p-com p=tfrac12<1, que diverge. Portanto
sumn=1^inftyan
diverge, ou seja, a série original não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas diverge em módulo).

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