Decida se a séries dadas convergem / divergem
sumn=1^infty(-1)^n e^1 / nn^3

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty(-1)^n,e^1/nn^3
converge ou diverge.
Conteúdo: séries numéricas, em particular séries alternadas e convergência absoluta.
Para resolver vamos verificar primeiro a convergência absoluta usando o teste de comparação.

Passo 2

Considere os termos em módulo
|an|=e^1/nn^3
Como para todo n>=1 vale e^1/n<= e, temos
|an|=e^1/nn^3<= en^3
Sabemos que sumn=1^infty en^3=esumn=1^infty 1n^3 converge (p-série com p=3>1).
Pelo teste de comparação, sum |an| converge.

Passo 3

Como a série converge em módulo (converge absolutamente), ela converge também normalmente (uma série absolutamente convergente é convergente).

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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