Reescreva integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 f(x, y, z) d z d y d x nas ordens d y d z d x, d y d x d z, d x d y d z, d x d z d y e d z d x d y.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral múltiplo. A gente precisa reescrever a integral tripla
integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 f(x, y, z) , dz , dy , dx
em diferentes ordens de integração: dy , dz , dx , dy , dx , dz , dx , dy , dz , dx , dz , dy e dz , dx , dy . Para isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles mudam quando alteramos a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no espaço tridimensional. Temos:
  • x varia de 0 a 1,
  • y varia de -1 a 0,
  • z varia de 0 a y^2 .
Isso significa que para cada x entre 0 e 1, y vai de -1 a 0, e para cada y , z vai de 0 até y^2 .

Passo 3

Para reescrever a integral na ordem dy , dz , dx , precisamos determinar os novos limites:
  • x continua de 0 a 1,
  • Para cada x , z varia de 0 a y^2 ,
  • E y varia de -1 a 0.
Entretanto, precisamos expressar y em termos de z . Sabemos que z = y^2 , então y = -raizz (já que y é negativo).
Então, os limites ficam:
integral0^1 integral0^1 integral-raizz^0 f(x, y, z) , dy , dz , dx

Passo 4

Agora, para a ordem dy , dx , dz , seguimos um raciocínio semelhante:
  • z varia de 0 a 1 (já que y vai até 0 e z até y^2 ),
  • Para cada z , x varia de 0 a 1,
  • E y varia de - raizz a 0.
Então, a integral fica:
integral0^1 integral0^1 integral-raizz^0 f(x, y, z) , dy , dx , dz

Passo 5

Para a ordem dx , dy , dz :
  • z varia de 0 a 1,
  • Para cada z , y varia de - raizz a 0,
  • E x varia de 0 a 1.
A integral fica então:
integral0^1 integral-raizz^0 integral0^1 f(x, y, z) , dx , dy , dz

Passo 6

Na ordem dx , dz , dy :
  • y varia de -1 a 0,
  • Para cada y , z varia de 0 a y^2 ,
  • E x varia de 0 a 1.
Assim, a integral reescrita é:
integral-1^0 integral0^y^2 integral0^1 f(x, y, z) , dx , dz , dy

Passo 7

Por fim, para a ordem dz , dx , dy :
  • y varia de -1 a 0,
  • Para cada y , x varia de 0 a 1,
  • E z varia de 0 a y^2 .
Então, a integral fica:
integral-1^0 integral0^1 integral0^y^2 f(x, y, z) , dz , dx , dy

Resposta

As integrais reescritas nas diferentes ordens são:
  1. dy , dz , dx :
integral0^1 integral0^1 integral-raizz^0 f(x, y, z) , dy , dz , dx
  1. dy , dx , dz :
integral0^1 integral0^1 integral-raizz^0 f(x, y, z) , dy , dx , dz
  1. dx , dy , dz :
integral0^1 integral-raizz^0 integral0^1 f(x, y, z) , dx , dy , dz
  1. dx , dz , dy :
integral-1^0 integral0^y^2 integral0^1 f(x, y, z) , dx , dz , dy
  1. dz , dx , dy :
integral-1^0 integral0^1 integral0^y^2 f(x, y, z) , dz , dx , dy

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