Reescreva
nas ordens
,
,
,
e
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral múltiplo. A gente precisa reescrever a integral tripla
em diferentes ordens de integração:
,
,
,
e
. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles mudam quando alteramos a ordem das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no espaço tridimensional. Temos:
-
varia de 0 a 1, -
varia de -1 a 0, -
varia de 0 a .
Isso significa que para cada
entre 0 e 1,
vai de -1 a 0, e para cada
,
vai de 0 até
.
Passo 3
Para reescrever a integral na ordem
, precisamos determinar os novos limites:
-
continua de 0 a 1, - Para cada
, varia de 0 a , - E
varia de -1 a 0.
Entretanto, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então
(já que
é negativo).
Então, os limites ficam:
Passo 4
Agora, para a ordem
, seguimos um raciocínio semelhante:
-
varia de 0 a 1 (já que vai até 0 e até ), - Para cada
, varia de 0 a 1, - E
varia de - a 0.
Então, a integral fica:
Passo 5
Para a ordem
:
-
varia de 0 a 1, - Para cada
, varia de - a 0, - E
varia de 0 a 1.
A integral fica então:
Passo 6
Na ordem
:
-
varia de -1 a 0, - Para cada
, varia de 0 a , - E
varia de 0 a 1.
Assim, a integral reescrita é:
Passo 7
Por fim, para a ordem
:
-
varia de -1 a 0, - Para cada
, varia de 0 a 1, - E
varia de 0 a .
Então, a integral fica:
Resposta
As integrais reescritas nas diferentes ordens são:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
: