Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 integral0^raiz1-y^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 z d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^1integral0^raiz1-y^2integral0^raiz1-x^2-y^2z,dz,dx,dy
O conteúdo é cálculo de integrais em coordenadas múltiplas e vamos usar coordenadas esféricas para simplificar a descrição da região.

Passo 2

Observamos que os limites
0<= y<=1, 0<= x<=raiz1-y^2, 0<= z<=raiz1-x^2-y^2
descrição a parte do espaço onde
x^2+y^2+z^2<=1
e x, y, z são não-negativos. Ou seja, é o primeiro octante da bola unitária.

Passo 3

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com jacobiano rho^2sinphi. Na nossa região temos
rhoin[0,1], phiin[0,tfracpi2] e thetain[0,tfracpi2].

Passo 4

A integral vira
integraltheta=0^pi/2!integralphi=0^pi/2!integralrho=0^1 l(rhocosphir),l(rho^2sinphir),drho,dphi,dtheta =integral0^pi/2!dtheta;integral0^pi/2!sinphicosphi,dphi; integral0^1!rho^3,drho

Passo 5

Calculamos separadamente:
integral0^1rho^3,drho=14, integral0^pi/2sinphicosphi,dphi=12, integral0^pi/2dtheta=pi2
Multiplicando dá
pi2times12times14=pi16

Resposta

pi16

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