Calcule as seguintes integrais:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2) d z d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integralx=-2^2integraly=-raiz4-x^2^raiz4-x^2integralz=raizx^2+y^2^raiz8 - x^2-y^2l(x^2+y^2+z^2r),dz,dy,dx
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, pois a região no plano xy é o disco x^2+y^2<=4 e as superfícies em z são radiais.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas l(x=rcostheta,;y=rsintheta,;z=zr) temos
x^2+y^2=r^2, dV = r,dz,dr,dtheta,
e a região fica
0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, r<= z<=raiz8 - r^2
A integral vira
integral0^2pi!integral0^2!integralz=r^raiz8-r^2l(r^2+z^2r),r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integralz=r^raiz8-r^2l(r^2+z^2r)r,dz =integralr^raiz8-r^2l(r^3+r,z^2r),dz =r^3l[;z;r]r^raiz8-r^2 +tfracr3l[z^3r]r^raiz8-r^2
Isso produz, após expandir,
r^3raiz8-r^2-r^4 ;+; tfracr3l(8-r^2r)^3/2 ;-;tfracr^43 ,=, r^3raiz8-r^2 +tfracr3l(8-r^2r)^3/2 -tfrac4,r^43

Passo 4

Agora integramos em r:
integral0^2l[r^3raiz8-r^2 +tfracr3(8-r^2)^3/2 -tfrac4,r^43r]dr
Para os dois primeiros termos usamos a substituição u=8-r^2, du=-2r,dr.
Após calcular cada parcela e avaliar de r=0 a r=2, a soma dá
integral0^2dots dr =38415l(raiz2-1r)

Passo 5

Finalmente, multiplicamos pelo fator angular
integral0^2pidtheta=2pi
e obtemos
2pi;times;38415l(raiz2-1r) =768pi15l(raiz2-1r) =256pi5l(raiz2-1r)

Resposta

256pi5,(raiz2-1)

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