Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série infinita converge ou diverge. Se der, vamos tentar achar a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de progressões geométricas e entender como elas se comportam quando somamos infinitos termos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está sendo somado nessa série. A expressão geral da série é . Isso se parece muito com uma progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.
Passo 3
Na nossa série, o primeiro termo () é quando :
E a razão () é o fator pelo qual multiplicamos para ir de um termo ao próximo:
Passo 4
Para saber se a série converge, precisamos verificar o valor absoluto da razão . Se , a série converge e podemos calcular sua soma. Se , a série diverge.
Vamos calcular :
Como 0,447 < 1, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita:
S = a11 - r
Onde:
S é a soma da série
a1 é o primeiro termo
r é a razão
Passo 6
Vamos substituir os valores que já encontramos na fórmula:
S = 11 - (-1raiz5) = 11 + 1raiz5
Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por raiz5:
S = raiz5raiz5 + 1
Passo 7
Podemos racionalizar o denominador se quisermos uma forma mais “arrumada”: