Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty(-1raiz5)^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série infinita sumn=1^infty(-1raiz5)^n-1 converge ou diverge. Se der, vamos tentar achar a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de progressões geométricas e entender como elas se comportam quando somamos infinitos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está sendo somado nessa série. A expressão geral da série é (-1raiz5)^n-1. Isso se parece muito com uma progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

Passo 3

Na nossa série, o primeiro termo ( a1) é quando n=1:
a1 = (-1raiz5)^1-1 = (-1raiz5)^0 = 1
E a razão ( r) é o fator pelo qual multiplicamos para ir de um termo ao próximo:
r = -1raiz5

Passo 4

Para saber se a série converge, precisamos verificar o valor absoluto da razão r. Se |r| < 1, a série converge e podemos calcular sua soma. Se |r| >= 1, a série diverge.
Vamos calcular |r|:
|r| = |-1raiz5| = 1raiz5 approx 0,447
Como 0,447 < 1, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita:
S = a11 - r
Onde:
  • S é a soma da série
  • a1 é o primeiro termo
  • r é a razão

Passo 6

Vamos substituir os valores que já encontramos na fórmula:
S = 11 - (-1raiz5) = 11 + 1raiz5
Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por raiz5:
S = raiz5raiz5 + 1

Passo 7

Podemos racionalizar o denominador se quisermos uma forma mais “arrumada”:
S = raiz5raiz5 + 1 times raiz5 - 1raiz5 - 1 = 5 - raiz55 - 1 = 5 - raiz54

Resposta

A série sumn=1^infty(-1raiz5)^n-1 converge e sua soma é 5 - raiz54.

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