Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma série infinita dada por:
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (soma ao infinito). Para isso, vamos usar algumas ferramentas de cálculo de séries infinitas, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
- Se $ L < 1 $, a série converge.
- Se $ L > 1 $, a série diverge.
- Se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral $ a_n $:
Agora, calculamos $ a_{n+1} $:
Em seguida, encontramos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite dessa razão quando $ n $ tende ao infinito:
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{n} $ tende a 0, então:
Portanto, o limite fica:
Passo 5
Conforme o Teste da Razão:
- Se $ L > 1 $, a série diverge.
- Se $ L < 1 $, a série converge.
- Se $ L = 1 $, precisamos de outro teste.
No nosso caso, $ L = 2 $, que é maior que 1.
Resposta
A série
é divergente.