Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty 2^nn^2

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma série infinita dada por:
sumn=1^infty 2^nn^2
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (soma ao infinito). Para isso, vamos usar algumas ferramentas de cálculo de séries infinitas, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se $ L < 1 $, a série converge.
  • Se $ L > 1 $, a série diverge.
  • Se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral $ a_n $:
an
Agora, calculamos $ a_{n+1} $:
an = 2^nn^2
Em seguida, encontramos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dessa razão quando $ n $ tende ao infinito:
n
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
L = limn to infty 2 cdot ( nn+1 )^2
Quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{n} $ tende a 0, então:
( nn+1 )^2 = ( 11 + 1n )^2
Portanto, o limite fica:
n

Passo 5

Conforme o Teste da Razão:
  • Se $ L > 1 $, a série diverge.
  • Se $ L < 1 $, a série converge.
  • Se $ L = 1 $, precisamos de outro teste.
No nosso caso, $ L = 2 $, que é maior que 1.

Resposta

A série
sumn=1^infty 2^nn^2
é divergente.

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