Calcule as integrais abaixo: a) integral0^1 integral3 y^3 cos (x^2) d x d y b) integral0^1 integraly^1 x^2 sen(x y) d x d y c) integral0^pi integraly^pi sen xx d x d y
d) integral0^3 integral0^9-x^2 x e^3 y9-y d y d x e) integral0^2 integraly / 2^1 e^-x^2 d x d y f) integral1^2 integral0^ln x(x-1) raiz1+e^2 y d y d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular várias integrais duplas (leitura de regiões, troca de ordem e cálculo), usando principalmente o teorema de Fubini e substituições usuais em integrais simples.

Passo 2

a) Para Ia=integral0^1integral3y^3cos(x^2),dx,dy, note que a região é 0<= y<=1, 3y<= x<=3. Invertendo a ordem, 0<= x<=3, 0<= y<= x/3. Então
Ia=integralx=0^3integraly=0^x/3cos(x^2),dy,dx=integral0^3 x3cos(x^2),dx=13cdot12integral0^9cos u,du=sin(9)6

Passo 3

b) Para Ib=integral0^1integraly^1x^2sin(xy),dx,dy, a região é 0<= y<=1, y<= x<=1. Invertendo, 0<= x<=1, 0<= y<= x. Então
Ib=integral0^1integral0^xx^2sin(xy),dy,dx=integral0^1x^2l[-1xcos(xy)r]0^xdx=integral0^1l(x - xcos(x^2)r)dx

Passo 4

Integrando: integral0^1x,dx=1/2 e integral0^1xcos(x^2)dx=tfrac12sin(1). Logo (I_b=\tfrac12-\tfrac12\sin(1)=(1-\sin1)/2.]

Passo 5

c) Para Ic=integral0^piintegraly^pisin xxdx,dy, a região é 0<= y<=pi, y<= x<=pi. Invertendo, 0<= x<=pi, 0<= y<= x. Então
Ic=integral0^piintegral0^xsin xxdy,dx=integral0^pisin x,dx=[-cos x]0^pi=2

Passo 6

d) Para Id=integral0^3integral0^9-x^2x e^3y9-ydy,dx, a região é 0<= x<=3, 0<= y<=9-x^2. Invertendo, 0<= y<=9, 0<= x<=raiz9-y. Assim
Id=integral0^9integral0^raiz9-yx e^3y9-ydx,dy=integral0^9e^3y9-ycdot(raiz9-y)^22,dy=tfrac12integral0^9e^3ydy=e^27-16

Passo 7

e) Para Ie=integral0^2integraly/2^1e^-x^2dx,dy, a região é 0<= y<=2, y/2<= x<=1. Invertendo, 0<= x<=1, 0<= y<=2x. Então
Ie=integral0^1integral0^2xe^-x^2dy,dx=integral0^12x e^-x^2dx=integral0^1e^-udu=1-e^-1

Passo 8

f) Para If=integral1^2integral0^ln x(x-1)raiz1+e^2y,dy,dx, a região é 1<= x<=2, 0<= y<=ln x. Invertendo, 0<= y<=ln2, e^y<= x<=2. Logo
If=integral0^ln2raiz1+e^2yintegrale^y^2(x-1)dx,dy=integral0^ln2raiz1+e^2yl(e^y-tfrace^2y2r)dy

Passo 9

Fazendo u=e^y em [1,2], fica
If=integral1^2l(1-tfrac u2r)raiz1+u^2,du,

Passo 10

usando as primitivas integralraiz1+u^2du e integral uraiz1+u^2du, e avaliando, obtemos
If=raiz5-raiz26+12ln2+raiz51+raiz2

Resposta

a) sin(9)6
b) 1-sin12
c) 2
d) e^27-16
e) 1-e^-1
f) raiz5-raiz26+12ln2+raiz51+raiz2

Exercícios relacionados