Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos é sobre séries infinitas, especificamente para decidir se a série
converge ou diverge. Vamos precisar entender sobre séries infinitas e aplicar algum teste de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série, que é
. Para entender o comportamento da série, é útil simplificar esse termo.
À medida que
fica grande,
tende a zero, então o termo geral se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, então a série
diverge.
Vamos calcular o limite do termo geral:
Passo 4
Como o limite do termo geral é
e não zero, de acordo com o Teste da Divergência, a série
diverge.
Resposta
A série
diverge.