Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty(-1)^n 5n^3+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa decidir se a série sumn=1^infty(-1)^n 5n^3+1 é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente séries alternadas, e aplicar alguns testes de convergência como o Teste da Alternância e o Teste da Série p.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, como é o caso do (-1)^n na nossa série. Esse fator faz com que os termos sejam positivos e negativos alternadamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte que não tem o sinal alternado, ou seja, 5n^3+1. Queremos ver como esses termos se comportam quando n cresce. Observamos que, para n grande, n^3+1 é aproximadamente igual a n^3, então 5n^3+1 approx 5n^3.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^p converge se p > 1. No nosso caso, p = 3, que é maior que 1. Isso significa que a série sumn=1^infty 5n^3 converge.

Passo 5

Como a série sumn=1^infty 5n^3+1 tem termos que são menores ou iguais aos termos de uma série que já sabemos que converge ( 5n^3), podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também converge.

Passo 6

Além disso, como a série tem termos alternados e os termos em módulo tendem a zero conforme n cresce, podemos aplicar o Teste da Alternância (ou Teste de Leibniz) que confirma que a série também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n 5n^3+1 é convergente. Porém, não é possível determinar uma soma exata para ela de forma simples.

Exercícios relacionados