Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa decidir se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente séries alternadas, e aplicar alguns testes de convergência como o Teste da Alternância e o Teste da Série
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, como é o caso do
na nossa série. Esse fator faz com que os termos sejam positivos e negativos alternadamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte que não tem o sinal alternado, ou seja,
. Queremos ver como esses termos se comportam quando
cresce. Observamos que, para
grande,
é aproximadamente igual a
, então
.
Passo 4
Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Isso significa que a série
converge.
Passo 5
Como a série
tem termos que são menores ou iguais aos termos de uma série que já sabemos que converge (
), podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também converge.
Passo 6
Além disso, como a série tem termos alternados e os termos em módulo tendem a zero conforme
cresce, podemos aplicar o Teste da Alternância (ou Teste de Leibniz) que confirma que a série também converge.
Resposta
A série
é convergente. Porém, não é possível determinar uma soma exata para ela de forma simples.