Esboce o gráfico das seguintes cônicas, indicando seus vértices, focos, centros (quando for o caso) e assíntotas (quando for o caso).
b) (x-5)^2=-12(y+2)

Passo 1

A equação dada é (x-5)^2=-12(y+2), que representa uma parábola com eixos transladados. Vamos usar o conteúdo de cônicas, em especial a definição de parábola em forma canônica (x-h)^2=4p(y-k), para encontrar vértice, foco e diretriz.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão de parábola vertical:
(x-5)^2 = -12l(y+2r) \nComparando com (x-h)^2=4p(y-k), vemos que
h=5, k=-2, 4p=-12
Logo,
p = -3

Passo 3

O sinal de p negativo indica que a parábola abre para baixo. O vértice (h,k) é
$$ V = (5,
-2) $$

Passo 4

O foco fica a distância |p| do vértice ao longo do eixo de simetria (linha vertical x=5), sendo
F = (5, k + p) = (5, -2 + (-3)) = (5, -5)

Passo 5

A diretriz é a reta oposta ao foco a uma distância |p| do vértice, dada por
y - k = -p ,Rightarrow, y + 2 = 3 ,Rightarrow, y = 1

Passo 6

Não há centro nem assíntotas porque é uma parábola. O eixo de simetria é a reta x=5. Agora dá para esboçar o gráfico: parábola com vértice em (5,-2), abrindo para baixo, foco em (5,-5) e diretriz y=1.
No esboço, marque o vértice, o foco e a diretriz, e desenhe a curva abrindo para baixo seguindo a definição de distância igual ao foco e à diretriz.

Resposta

Parábola com vértice em (5,–2), foco em (5,–5), diretriz y=1, eixo de simetria x=5, abertura para baixo; sem centro nem assíntotas.

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