Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=2^infty 1e^n sen(1n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para decidir se a série sumn=2^infty 1e^n cdot sin(1n) converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos tentar encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, testes de convergência e propriedades das funções exponencial e seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: 1e^n cdot sin(1n). Sabemos que e^n cresce muito rapidamente conforme n aumenta, fazendo com que 1e^n diminua rapidamente para zero. Além disso, sin(1n) é o seno de um número que também diminui para zero conforme n cresce.

Passo 3

Para decidir sobre a convergência da série, podemos usar o teste da comparação ou o teste da razão. Vamos optar pelo teste da comparação, que é útil quando podemos comparar nossos termos com outra série conhecida que converge ou diverge.

Passo 4

Sabemos que para valores pequenos de x, sin(x) é aproximadamente igual a x. Ou seja, quando n é grande, sin(1n) approx 1n. Então, podemos aproximar nossos termos por 1e^n cdot 1n.

Passo 5

Agora, comparamos nossa série com a série sumn=2^infty 1e^n cdot n. Sabemos que 1e^n cdot n é menor que 1e^n, já que estamos multiplicando por n no denominador.

Passo 6

A série sumn=2^infty 1e^n é uma série geométrica com razão r = 1e, que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas com |r| < 1 convergem.

Passo 7

Como cada termo da nossa série original 1e^n cdot sin(1n) é menor ou igual a 1e^n, e a série sum 1e^n converge, pelo teste da comparação, nossa série também converge.

Passo 8

Agora, para determinar a soma da série, notamos que a presença do sin(1n) dificulta encontrar uma soma fechada exata. Geralmente, séries envolvendo funções trigonométricas compostas com funções exponenciais não têm uma soma simples e conhecida.

Resposta

A série sumn=2^infty 1e^n cdot sin(1n) converge, porém sua soma exata não pode ser determinada de forma simples.

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