Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para decidir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos tentar encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, testes de convergência e propriedades das funções exponencial e seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série:
. Sabemos que
cresce muito rapidamente conforme
aumenta, fazendo com que
diminua rapidamente para zero. Além disso,
é o seno de um número que também diminui para zero conforme
cresce.
Passo 3
Para decidir sobre a convergência da série, podemos usar o teste da comparação ou o teste da razão. Vamos optar pelo teste da comparação, que é útil quando podemos comparar nossos termos com outra série conhecida que converge ou diverge.
Passo 4
Sabemos que para valores pequenos de
,
é aproximadamente igual a
. Ou seja, quando
é grande,
. Então, podemos aproximar nossos termos por
.
Passo 5
Agora, comparamos nossa série com a série
. Sabemos que
é menor que
, já que estamos multiplicando por
no denominador.
Passo 6
A série
é uma série geométrica com razão
, que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas com
convergem.
Passo 7
Como cada termo da nossa série original
é menor ou igual a
, e a série
converge, pelo teste da comparação, nossa série também converge.
Passo 8
Agora, para determinar a soma da série, notamos que a presença do
dificulta encontrar uma soma fechada exata. Geralmente, séries envolvendo funções trigonométricas compostas com funções exponenciais não têm uma soma simples e conhecida.
Resposta
A série
converge, porém sua soma exata não pode ser determinada de forma simples.