Determine e classifique os pontos críticos da função f.
f(x, y)=x^4-2 x^2+y^3-3 y.

Passo 1

A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função f(x,y)=x4−2x2+y^3−3y, então vamos usar derivadas parciais para achar candidatos a extremos e depois usar o Hessiano para classificar.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f:
∂f/∂x=4x^3−4x e ∂f/∂y=3y^2−3. Para pontos críticos, igualamos a zero:
4x^3−4x=0,
3y^2−3=0

Passo 3

Resolva o sistema:
Da primeira equação extraímos 4x(x^2−1)=0 ⇒ x=0,±1.
Da segunda, 3(y^2−1)=0 ⇒ y=±1.
Logo, os pontos críticos são (x,y)∈{0,±1}×{±1}, total de 6 pontos.

Passo 4

Agora calcule as segundas derivadas para montar o Hessiano:
∂²f/∂x²=12x^2−4, ∂²f/∂y²=6y, e ∂²f/∂x∂y=0.
O discriminante é D=(12x^2−4)(6y).

Passo 5

Avalie f_xx e D em cada ponto e aplique o critério:
  • Se D>0 e f_xx>0 ⇒ mínimo local.
  • Se D>0 e f_xx<0 ⇒ máximo local.
  • Se D<0 ⇒ ponto de sela.

Passo 6

Fazendo as contas:
(0,1): f_xx=−4, D=−24<0 ⇒ sela.
(0,−1): f_xx=−4, D=24>0 ⇒ máximo.
(1,1) e (−1,1): f_xx=8, D=48>0 ⇒ mínimos.
(1,−1) e (−1,−1): f_xx=8, D=−48<0 ⇒ sela.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
• (0,1): ponto de sela
• (0,−1): máximo local
• (1,1) e (−1,1): mínimos locais
• (1,−1) e (−1,−1): pontos de sela

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