Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na série
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série dá um resultado finito (ou seja, se ela converge) ou se ela cresce sem limites (diverge). Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e a fórmula que nos ajuda a encontrar a soma dela.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar se essa série é realmente uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral
, onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão comum entre os termos.
Passo 3
Vamos reescrever a nossa série para encaixar nesse formato:
Aqui, podemos ver que:
- O primeiro termo
é (quando , , então o termo é ). - A razão
é .
Passo 4
Agora que identificamos
e
, vamos lembrar que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1. Se isso acontecer, a soma da série pode ser encontrada usando a fórmula:
Passo 5
No nosso caso, temos
, que claramente é menor que 1. Então, a série converge. Vamos aplicar a fórmula da soma:
Resposta
A série
é convergente e a sua soma é 4.