Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty 34^n-1

Passo 1

Vamos dar uma olhada na série sumn=1^infty 34^n-1. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série dá um resultado finito (ou seja, se ela converge) ou se ela cresce sem limites (diverge). Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e a fórmula que nos ajuda a encontrar a soma dela.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar se essa série é realmente uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão comum entre os termos.

Passo 3

Vamos reescrever a nossa série para encaixar nesse formato:
sumn=1^infty 34^n-1 = 3 sumn=1^infty (14)^n-1
Aqui, podemos ver que:
  • O primeiro termo a é 3 (quando n=1, 4^n-1 = 4^0 = 1, então o termo é 3/1 = 3).
  • A razão r é 14.

Passo 4

Agora que identificamos a e r, vamos lembrar que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1. Se isso acontecer, a soma da série pode ser encontrada usando a fórmula:
S = a1 - r

Passo 5

No nosso caso, temos r = 14, que claramente é menor que 1. Então, a série converge. Vamos aplicar a fórmula da soma:
S = 31 - 14 = 334 = 3 times 43 = 4

Resposta

A série sumn=1^infty 34^n-1 é convergente e a sua soma é 4.

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