Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O conteúdo relacionado aqui é o teste de convergência de séries, especificamente verificando se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Sabemos que:
Então, o termo geral da série fica:
Passo 3
Agora, precisamos analisar o limite do termo geral quando $ n $ tende ao infinito. Calculamos:
Para isso, vamos calcular o limite do expoente:
Portanto:
Passo 4
De acordo com o Teste Necessário para Convergência de séries, se o limite do termo geral $ a_n $ não for zero, a série diverge. Ou seja, para a série $ \sum a_n $ convergir, é necessário que:
No nosso caso, vimos que:
Isso significa que a condição necessária para a convergência não é atendida.
Resposta
A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{e}} $ diverge.