Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty 1raiz[n]e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty 1raiz[n]e
O conteúdo relacionado aqui é o teste de convergência de séries, especificamente verificando se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Sabemos que:
raiz[n]e = e^1/n
Então, o termo geral da série fica:
1raiz[n]e = 1e^1/n = e^-1/n

Passo 3

Agora, precisamos analisar o limite do termo geral quando $ n $ tende ao infinito. Calculamos:
n
Para isso, vamos calcular o limite do expoente:
limn to infty e^-1/n
Portanto:
limn to infty -1n = 0

Passo 4

De acordo com o Teste Necessário para Convergência de séries, se o limite do termo geral $ a_n $ não for zero, a série diverge. Ou seja, para a série $ \sum a_n $ convergir, é necessário que:
an
No nosso caso, vimos que:
sum an
Isso significa que a condição necessária para a convergência não é atendida.

Resposta

A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{e}} $ diverge.

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