Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty 14 n 3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se a série sumn=1^infty 14 n 3^n é convergente ou divergente. Se der, a gente também tenta descobrir a soma dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas, como o teste da razão e propriedades de séries geométricas e harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nosso trabalho. A série dada é:
sumn=1^infty 14 n 3^n = 14 sumn=1^infty 1n 3^n
Então, basicamente, estamos lidando com a série sumn=1^infty 1n 3^n multiplicada por 14.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa série converge ou diverge usando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento das séries olhando para o limite do quociente entre termos consecutivos.
Calculando o limite:
limn to infty an+1an = limn to infty 1(n+1) 3^n+11n 3^n = limn to infty nn+1 cdot 13 = 13 < 1
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série é convergente.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge, vamos tentar encontrar a soma dela. A série que temos é:
sumn=1^infty 1n 3^n
Essa é uma série conhecida que pode ser relacionada à série geométrica através de um desenvolvimento de função. Sabemos que:
sumn=1^infty x^nn = -ln(1 - x) para |x| < 1
No nosso caso, x = 13, então substituindo:
sumn=1^infty 1n 3^n = -ln(1 - 13) = -ln(23) = ln(32)

Passo 5

Lembrando que nossa série original tinha um fator 14, a soma total fica:
14 cdot ln(32)

Resposta

A série sumn=1^infty 14 n 3^n é convergente e a sua soma é 14 cdot ln(32).

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