Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se a série
é convergente ou divergente. Se der, a gente também tenta descobrir a soma dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas, como o teste da razão e propriedades de séries geométricas e harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nosso trabalho. A série dada é:
Então, basicamente, estamos lidando com a série
multiplicada por
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa série converge ou diverge usando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento das séries olhando para o limite do quociente entre termos consecutivos.
Calculando o limite:
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série é convergente.
Passo 4
Agora que sabemos que a série converge, vamos tentar encontrar a soma dela. A série que temos é:
Essa é uma série conhecida que pode ser relacionada à série geométrica através de um desenvolvimento de função. Sabemos que:
No nosso caso,
, então substituindo:
Passo 5
Lembrando que nossa série original tinha um fator
, a soma total fica:
Resposta
A série
é convergente e a sua soma é
.