Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty 5^nn 3^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente decidir se a série infinita sumn=1^infty 5^nn cdot 3^n+1 converge ou diverge. Se ela convergir, queremos descobrir qual é a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática para analisar o comportamento de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação do teste. A nossa série é:
sumn=1^infty 5^nn cdot 3^n+1 = sumn=1^infty 5^n3^n cdot 3 cdot n = 13 sumn=1^infty (5/3)^nn
Isso nos ajuda a ver que a série tem a forma sum a^nn, onde a = 53.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.
Aplicando isso à nossa série:
an = 5^nn cdot 3^n+1
Então,
an+1an = 5^n+1(n+1) cdot 3^n+2 cdot n cdot 3^n+15^n = 5 cdot n3 cdot (n+1)
Calculando o limite:
L = limn to infty 5 cdot n3 cdot (n+1) = 53
Como L = 53 > 1, o Teste da Razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 5^nn cdot 3^n+1 diverge.

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