Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty(-1)^n n sen 1n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série sumn=1^infty(-1)^n n sin 1n é convergente ou divergente. Se der convergir, ainda precisamos descobrir a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, especialmente o Teste da Divergência e como o comportamento dos termos influencia na convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos examinar o termo geral da série: (-1)^n n sin 1n. Aqui, vemos que é uma série alternada por causa do (-1)^n. O próximo passo é analisar o comportamento de n sin 1n conforme n cresce.

Passo 3

Vamos simplificar n sin 1n. Quando n é grande, 1n é pequeno, e sabemos que sin x approx x para x próximo de 0. Então:
n sin 1n approx n cdot 1n = 1
Isso significa que o termo n sin 1n se aproxima de 1 quando n tende ao infinito.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série não for zero, a série diverge. Ou seja, se limn to infty an neq 0, então a série sum an diverge.

Passo 5

Calculando o limite:
limn to infty (-1)^n n sin 1n = limn to infty (-1)^n cdot 1
O limite de (-1)^n não existe porque alterna entre -1 e 1. Não tem um valor fixo quando n tende ao infinito.

Passo 6

Como o limite do termo geral não é zero (nem sequer existe), pelo Teste da Divergência, concluímos que a série não converge. Portanto, a série é divergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n n sin 1n é divergente.

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