Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série
é convergente ou divergente. Se der convergir, ainda precisamos descobrir a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, especialmente o Teste da Divergência e como o comportamento dos termos influencia na convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos examinar o termo geral da série:
. Aqui, vemos que é uma série alternada por causa do
. O próximo passo é analisar o comportamento de
conforme
cresce.
Passo 3
Vamos simplificar
. Quando
é grande,
é pequeno, e sabemos que
para
próximo de 0. Então:
Isso significa que o termo
se aproxima de 1 quando
tende ao infinito.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série não for zero, a série diverge. Ou seja, se
, então a série
diverge.
Passo 5
Calculando o limite:
O limite de
não existe porque alterna entre -1 e 1. Não tem um valor fixo quando
tende ao infinito.
Passo 6
Como o limite do termo geral não é zero (nem sequer existe), pelo Teste da Divergência, concluímos que a série não converge. Portanto, a série é divergente.
Resposta
A série
é divergente.