Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=3^infty raizn+1n^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre uma série infinita:
sumn=3^infty raizn + 1n^2 - 4
O que a gente precisa fazer é descobrir se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita). Se ela convergir, a gente tenta descobrir qual é a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é uma série convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um número específico conforme a gente soma mais e mais termos. Se não, ela é divergente.
Para verificar isso, podemos usar o Teste da Comparação, que compara nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 3

Vamos analisar o termo geral da nossa série:
an = raizn + 1n^2 - 4
Para simplificar, observamos o que acontece quando $ n $ fica muito grande. Nesse caso, os termos com maior grau dominam. Então, n domina no numerador e raizn no denominador. Assim, o termo se comporta aproximadamente como:
n^2

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série sum 1n^3/2. Sabemos que essa é uma série p, onde $ p = \frac{3}{2} $.
O Teste da Série p diz que:
  • Se $ p > 1 $, a série é convergente.
  • Se $ p \leq 1 $, a série é divergente.
Como $ \frac{3}{2} > 1 $, a série p = 32 converge.

Passo 5

Já que nossa série original $ \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\sqrt{n} + 1}{n^{2} - 4} $ se comporta de maneira semelhante a uma série que converge, e os termos dela são menores que os termos da série p que converge, podemos concluir pelo Teste da Comparação que nossa série também converge.

Passo 6

Agora, sobre determinar a soma dessa série: infelizmente, nem toda série convergente tem uma soma que a gente consegue calcular de forma exata usando fórmulas simples. No caso dessa série específica, não há uma expressão fechada conhecida para a soma, então a gente confirma apenas que ela converge, mas não conseguimos determinar seu valor exato.

Resposta

A série sumn=3^infty raizn + 1n^2 - 4 é convergente, porém não é possível determinar sua soma de forma exata.

Exercícios relacionados