Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre uma série infinita:
O que a gente precisa fazer é descobrir se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita). Se ela convergir, a gente tenta descobrir qual é a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é uma série convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um número específico conforme a gente soma mais e mais termos. Se não, ela é divergente.
Para verificar isso, podemos usar o Teste da Comparação, que compara nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 3
Vamos analisar o termo geral da nossa série:
Para simplificar, observamos o que acontece quando $ n $ fica muito grande. Nesse caso, os termos com maior grau dominam. Então,
domina no numerador e
no denominador. Assim, o termo se comporta aproximadamente como:
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que essa é uma série p, onde $ p = \frac{3}{2} $.
O Teste da Série p diz que:
- Se $ p > 1 $, a série é convergente.
- Se $ p \leq 1 $, a série é divergente.
Como $ \frac{3}{2} > 1 $, a série
converge.
Passo 5
Já que nossa série original $ \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\sqrt{n} + 1}{n^{2} - 4} $ se comporta de maneira semelhante a uma série que converge, e os termos dela são menores que os termos da série p que converge, podemos concluir pelo Teste da Comparação que nossa série também converge.
Passo 6
Agora, sobre determinar a soma dessa série: infelizmente, nem toda série convergente tem uma soma que a gente consegue calcular de forma exata usando fórmulas simples. No caso dessa série específica, não há uma expressão fechada conhecida para a soma, então a gente confirma apenas que ela converge, mas não conseguimos determinar seu valor exato.
Resposta
A série
é convergente, porém não é possível determinar sua soma de forma exata.