Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty(-1)^n+1 1ln (n+1)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos decidir se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 1ln(n+1) converge ou diverge. Se ela convergir, também tentaremos descobrir a sua soma.
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é útil para séries onde os termos alternam sinais. Precisamos entender conceitos como limite dos termos e comportamento decrescente para aplicar esse teste.

Passo 2

Primeiro, identificamos que essa é uma série alternada porque o termo (-1)^n+1 faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo e vice-versa.
O Teste da Série Alternada afirma que, para uma série da forma sumn=1^infty (-1)^n an, se os seguintes critérios forem atendidos:
  1. Os termos an são positivos.
  2. Os termos an são decrescentes.
  3. limn to infty an = 0.
Então, a série converge.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série:
  1. Positividade: an = 1ln(n+1) é positivo para todo n >= 1, já que o logaritmo natural de n+1 é sempre positivo nesse intervalo.
  2. Decrescimento: A função an = 1ln(n+1) é decrescente porque, à medida que n aumenta, ln(n+1) também aumenta, fazendo com que an diminua.
  3. Limite zero: Calculamos o limite de an quando n tende ao infinito:
    limn to infty 1ln(n+1) = 0
    Isso porque ln(n+1) cresce sem limites conforme n aumenta.

Passo 4

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (os termos são positivos, decrescem e tendem a zero), podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^n+1 1ln(n+1) converge.

Passo 5

Agora, sobre determinar a soma da série: séries alternadas que convergem nem sempre têm uma soma que pode ser expressa de forma simples ou fechada. Nesse caso específico, não conseguimos encontrar uma expressão exata para a soma dessa série usando os métodos tradicionais que conhecemos.

Resposta

A série é convergente, mas não é possível determinar a sua soma exata.

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