Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: queremos decidir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também tentaremos descobrir a sua soma.
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é útil para séries onde os termos alternam sinais. Precisamos entender conceitos como limite dos termos e comportamento decrescente para aplicar esse teste.
Passo 2
Primeiro, identificamos que essa é uma série alternada porque o termo
faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo e vice-versa.
O Teste da Série Alternada afirma que, para uma série da forma
, se os seguintes critérios forem atendidos:
- Os termos
são positivos. - Os termos
são decrescentes. -
.
Então, a série converge.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série:
-
Positividade:
é positivo para todo , já que o logaritmo natural de é sempre positivo nesse intervalo. -
Decrescimento: A função
é decrescente porque, à medida que aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua. -
Limite zero: Calculamos o limite de
quando tende ao infinito: Isso porquecresce sem limites conforme aumenta.
Passo 4
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (os termos são positivos, decrescem e tendem a zero), podemos concluir que a série
converge.
Passo 5
Agora, sobre determinar a soma da série: séries alternadas que convergem nem sempre têm uma soma que pode ser expressa de forma simples ou fechada. Nesse caso específico, não conseguimos encontrar uma expressão exata para a soma dessa série usando os métodos tradicionais que conhecemos.
Resposta
A série é convergente, mas não é possível determinar a sua soma exata.