\left\{\begin{array}{l} x+y=0 \\\ x-y=0 \\\ a x+b y=0 \end{array}\right.
Escreva a equação (3) como combinação linear das equações (1) e (2) em termos de a e b.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} \text{(1)}\quad x+y=0,\\[4pt] \text{(2)}\quad x-y=0,\\[4pt] \text{(3)}\quad a x+b y=0, \end{array}\right.
e pede: escrever a equação (3) como combinação linear das equações (1) e (2) em termos de \,a e b.
Informações relevantes fornecidas:
As equações (1) e (2) têm os membros à esquerda x+y e x-y, ambos igual a 0.
A equação (3) tem membros à esquerda a x+b y igual a 0.
Quer-se encontrar coeficientes escalares (dependendo de a e b) tais que uma combinação linear dessas duas primeiras reproduza a terceira.]
Passo 2
O que significa "escrever (3) como combinação linear de (1) e (2)"?
Significa achar escalares \alpha e \beta (funções de a e b) tais que, ao multiplicar a equação (1) por \alpha e a equação (2) por \beta e somá‑las, obtemos exatamente a equação (3). Em termos dos membros à esquerda isso dá:
\alpha\,(x+y)+\beta\,(x-y)=a x+b y.
Aqui cada termo está em notação algébrica, e como as equações têm lado direito 0, a combinação das equações também terá lado direito 0.
Passo 3
Escrevendo a soma dos lados esquerdos e agrupando coeficientes de x e y:
Para que isso seja igual a a x+b y (o lado esquerdo da equação (3)), os coeficientes devem coincidir. Assim obtemos o sistema linear para \alpha e \beta: