Considere o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+y=0 \\\ x-y=0 \\\ a x+b y=0 \end{array}\right.
Escreva a equação (3) como combinação linear das equações (1) e (2) em termos de a e b.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} \text{(1)}\quad x+y=0,\\[4pt] \text{(2)}\quad x-y=0,\\[4pt] \text{(3)}\quad a x+b y=0, \end{array}\right.
e pede: escrever a equação (3) como combinação linear das equações (1) e (2) em termos de \,a e b.
Informações relevantes fornecidas:
  • As equações (1) e (2) têm os membros à esquerda x+y e x-y, ambos igual a 0.
  • A equação (3) tem membros à esquerda a x+b y igual a 0.
  • Quer-se encontrar coeficientes escalares (dependendo de a e b) tais que uma combinação linear dessas duas primeiras reproduza a terceira.]

Passo 2

O que significa "escrever (3) como combinação linear de (1) e (2)"?
Significa achar escalares \alpha e \beta (funções de a e b) tais que, ao multiplicar a equação (1) por \alpha e a equação (2) por \beta e somá‑las, obtemos exatamente a equação (3). Em termos dos membros à esquerda isso dá:
\alpha\,(x+y)+\beta\,(x-y)=a x+b y.
Aqui cada termo está em notação algébrica, e como as equações têm lado direito 0, a combinação das equações também terá lado direito 0.

Passo 3

Escrevendo a soma dos lados esquerdos e agrupando coeficientes de x e y:
\alpha\,(x+y)+\beta\,(x-y)=(\alpha+\beta)\,x+(\alpha-\beta)\,y.
Para que isso seja igual a a x+b y (o lado esquerdo da equação (3)), os coeficientes devem coincidir. Assim obtemos o sistema linear para \alpha e \beta:
\begin{cases} \alpha+\beta=a,\\[4pt] \alpha-\beta=b. \end{cases}]

Passo 4

Resolver esse sistema para \alpha e \beta. Soma-se as duas equações e depois subtrai-se para isolar as incógnitas.
Somando:
(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)=a+b \quad\Rightarrow\quad 2\alpha=a+b.
Logo
\alpha=\dfrac{a+b}{2}.
Subtraindo a segunda da primeira (ou somando com sinal trocado):
(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)=a-b \quad\Rightarrow\quad 2\beta=a-b.
Logo
\beta=\dfrac{a-b}{2}.

Passo 5

Com \alpha e \beta encontrados, verificamos rapidamente os coeficientes combinados:
\alpha+\beta=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2}=a, \qquad \alpha-\beta=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2}=b,
portanto a combinação linear com esses \alpha e \beta reproduz exatamente os coeficientes a e b da equação (3).

Resposta

a x+b y=\dfrac{a+b}{2}\,(x+y)+\dfrac{a-b}{2}\,(x-y).

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