Decida quais dos sistemas abaixo são compatíveis e quais são incompatíveis e, no primeiro caso, descreva o seu conjunto solução. \left\{\begin{array}{l}2 x+y=1 \\\ x-y=2 \\\\ 5 x+3 y=2\end{array}\right.
O que se pede: decidir se o sistema é compatível (tem solução) ou incompatível (não tem solução). Se for compatível, descrever o conjunto solução (os valores de x e y).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
São três equações lineares em duas incógnitas x e y.
As equações são:\begin{aligned} &\text{(1)}\quad 2x+y=1,\\[4pt] &\text{(2)}\quad x-y=2,\\[4pt] &\text{(3)}\quad 5x+3y=2. \end{aligned}]
Passo 2
Rápida lembrança didática (o que significa compatível/incompatível e que operações são permitidas):
Dizemos que um sistema é compatível se existe pelo menos um par (x,y) que satisfaça todas as equações simultaneamente; se não existir tal par, o sistema é incompatível.
Operações que preservam o conjunto solução (podem ser usadas livremente para resolver): somar uma equação a outra, multiplicar uma equação por um número diferente de zero e substituir uma equação por uma combinação linear das outras. Essas são chamadas transformações elementares de linha e não alteram as soluções do sistema.
Vou usar eliminação por combinação linear (método das operações entre equações), que é simples e direto aqui.
Passo 3
Escolha prática do caminho:
Observando as equações \\ (1) e \\ (2), noto que somá-las elimina o termo em y porque uma tem +y e a outra tem -y.
Aplicar essa soma é uma transformação permitida e nos dará uma equação só em x, o que simplifica muito.
Passo 4
Somar as equações \\ (1) e \\ (2):
(2x+y) + (x-y) = 1 + 2.
No lado esquerdo os termos em y se cancelam porque +y + (-y)=0. Portanto:
3x = 3.
Dividindo ambos os lados por 3 (operação legal, pois 3\neq0):
x = 1.
Passo 5
Agora substituir \\ x=1 em uma das equações mais simples para achar y. Uso a equação \\ (2):
x - y = 2.
Substituindo x=1:
1 - y = 2.
Isolando y:
-y = 1 \quad\Rightarrow\quad y = -1.
Passo 6
Verificação (sempre faça isso na prova para evitar erro de conta):
Substituir (x,y)=(1,-1) na terceira equação \\ (3):
5x+3y = 5\cdot 1 + 3\cdot(-1) = 5 - 3 = 2.
O lado direito da equação \\ (3) é 2, então a igualdade é satisfeita. Portanto a solução encontrada satisfaz todas as três equações.
Passo 7
Conclusão e interpretação:
O sistema tem pelo menos uma solução (a que acabamos de achar) e, como obtivemos valores únicos para x e y, o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução).
Em linguagem geométrica: as três retas dadas pelas equações intersectam-se num mesmo ponto (1,-1).