Decida quais dos sistemas abaixo são compatíveis e quais são incompatíveis e, no primeiro caso, descreva o seu conjunto solução. \left\{\begin{aligned}-6 x+3 y-3 z & =-6 \\\ y+5 z & =-2 \\\ x+9 z & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede que eu decida se ele é compatível ou incompatível; se for compatível, descreva o conjunto solução. As informações fornecidas são exatamente as três equações:
Dizer se o sistema é compatível (tem solução) ou incompatível (sem solução).
Se for compatível, descrever o conjunto solução (os valores de x,y,z que satisfazem todas as equações).]
Passo 2
Estratégia escolhida: usar substituição direta. Por que isso? Porque a terceira equação já isola x em termos de z e a segunda isola y em termos de z; isso torna a substituição imediata e simples. Substituição significa: expressar x e y em função de z e pôr essas expressões na primeira equação para obter uma equação só em z. Depois resolver z, e então obter x e y.
Breve lembrete didático sobre substituição: ao escrever x e y em função de z, reduz-se um sistema de várias equações a uma equação com uma incógnita, o que é muito prático quando algumas equações já estão “quase isoladas”.
Passo 3
Isolar x a partir da terceira equação. A terceira equação é \;x+9z=0\;. Subtraindo 9z dos dois lados:
x=-9z.
Aqui foi apenas uma operação elementar: isolar a incógnita x.
Passo 4
Isolar y a partir da segunda equação. A segunda equação é \;y+5z=-2\;. Subtraindo 5z dos dois lados:
y=-2-5z.
Agora temos x e y expressos em função de z.
Passo 5
Substituir as expressões de x e y na primeira equação. A primeira equação é \;-6x+3y-3z=-6\;. Substituindo x=-9z e y=-2-5z:
-6\bigl(-9z\bigr)+3\bigl(-2-5z\bigr)-3z=-6.
Passo 6
Desenvolver e simplificar a equação em z. Continuando a conta:
-6\bigl(-9z\bigr)=54z,
3\bigl(-2-5z\bigr)=3\cdot(-2)+3\cdot(-5z)=-6-15z.
Substituindo:
54z+(-6-15z)-3z=-6.
Somando os termos com z e os termos constantes:
(54z-15z-3z)-6=-6,
36z-6=-6.
Isolando z:
36z=-6+6=0,
z=0.
Passo 7
Encontrar x e y usando z=0. Usando x=-9z e y=-2-5z:
x=-9\cdot 0=0,
y=-2-5\cdot 0=-2.
Passo 8
Verificação rápida: substituir (x,y,z)=(0,-2,0) nas três equações para garantir que satisfazem o sistema.
Verificando a primeira equação:
-6\cdot 0+3\cdot(-2)-3\cdot 0 = 0-6-0=-6,
que coincide com o lado direito -6.
Verificando a segunda:
(-2)+5\cdot 0=-2,
que coincide com o lado direito -2.
Verificando a terceira:
0+9\cdot 0=0,
que coincide com o lado direito 0.
Portanto (0,-2,0) é solução do sistema.
Passo 9
Conclusão sobre compatibilidade: o sistema tem exatamente uma solução (encontrada acima), então é compatível determinado (compatível com solução única). O conjunto solução contém esse único triplo (x,y,z)=(0,-2,0).