Verifique que os sistemas (1) e (2) abaixo são equivalentes.
(1) \left\{\begin{array}{l}2 x-y+z=2 \\\ x+3 z=0\end{array}\right.
(2) \left\{\begin{array}{l}2 x-y+z=2 \\\ y+5 z=-2 \\\ x+9 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas lineares. Vou listar claramente as equações de cada sistema e o que se pede verificar.
Sistema (1):
\begin{cases} 2x - y + z = 2,\\[4pt] x + 3z = 0. \end{cases}
Sistema (2):
\begin{cases} 2x - y + z = 2,\\[4pt] y + 5z = -2,\\[4pt] x + 9z = 0. \end{cases}
O que devo verificar: se os sistemas têm exatamente o mesmo conjunto de soluções (ou seja, se são equivalentes no sentido de sistemas lineares).]

Passo 2

Primeiro, explicação do conceito que vou usar (rápida e prática): dois sistemas são equivalentes se e somente se têm o mesmo conjunto de soluções. Uma forma direta de verificar é resolver cada sistema (ou transformar um em outro por combinações lineares) e comparar os conjuntos solução. Vou resolver cada sistema de forma simples, mostrando cada passo.

Passo 3

Resolver o sistema (1) passo a passo.
A segunda equação de (1) é
x + 3z = 0.
Isolo x:
x = -3z.
Substituo esse x na primeira equação 2x - y + z = 2:
2(-3z) - y + z = 2.
Calculo o lado esquerdo passo a passo:
2(-3z) = -6z,
então
-6z - y + z = 2 \quad\Rightarrow\quad -y -5z = 2.
Multiplicando por -1 fica
y + 5z = -2.
Portanto, a solução geral do sistema (1) pode ser escrita em função de um parâmetro t (escolho t=z):
z = t,\qquad x = -3t,\qquad y = -5t - 2.
Em forma de conjunto:
S_1 = \{(-3t,\,-5t-2,\;t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Observação: isto é uma reta no espaço; há infinitas soluções (um parâmetro livre).

Passo 4

Resolver o sistema (2) passo a passo.
Da segunda equação de (2) temos
y + 5z = -2 \quad\Rightarrow\quad y = -5z - 2.
Substituo esse y na primeira equação 2x - y + z = 2:
2x - (-5z -2) + z = 2.
Explico cada termo:
-(-5z -2) = 5z + 2,
logo
2x + 5z + 2 + z = 2 \quad\Rightarrow\quad 2x + 6z + 2 = 2.
Subtraindo 2 dos dois lados:
2x + 6z = 0 \quad\Rightarrow\quad x + 3z = 0.
Assim, a partir das duas primeiras equações de (2) já obtemos x + 3z = 0, ou seja x = -3z.
Agora uso a terceira equação de (2): x + 9z = 0. Substituo x = -3z nela:
-3z + 9z = 0 \quad\Rightarrow\quad 6z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 0.
Com z=0 obtemos x = -3\cdot 0 = 0 e y = -5\cdot 0 - 2 = -2.
Portanto o conjunto solução do sistema (2) é o único ponto
S_2 = \{(0,\,-2,\,0)\}.

Passo 5

Comparar os conjuntos solução S_1 e S_2.
Do passo 3, S_1=\{(-3t,-5t-2,t)\mid t\in\mathbb{R}\}. Do passo 4, S_2=\{(0,-2,0)\}.
  • O ponto (0,-2,0) aparece em S_1 quando t=0. Assim S_2\subseteq S_1.
  • Para ver que os conjuntos não são iguais, basta encontrar um elemento de S_1 que não esteja em S_2. Por exemplo, escolha t=1. Então
(-3,-7,1)\in S_1.
Verifico se ele satisfaz a terceira equação de (2), x+9z=0:
-3 + 9\cdot 1 = 6 \neq 0,
logo (-3,-7,1)\notin S_2. Portanto S_1\not\subseteq S_2.
Conclusão lógica: S_1\neq S_2. Os dois sistemas não têm o mesmo conjunto de soluções.

Passo 6

Interpretação final e comentário didático rápido: o sistema (2) contém uma equação adicional x+9z=0 que restringe o parâmetro livre z de S_1 a z=0. Ou seja, (2) é mais restritivo; todo solução de (2) é solução de (1), mas nem toda solução de (1) satisfaz a terceira equação de (2). Por isso os sistemas NÃO são equivalentes.

Resposta

Os sistemas não são equivalentes. O conjunto solução de (1) é \{(-3t,-5t-2,t)\mid t\in\mathbb{R}\} e o de (2) é \{(0,-2,0)\}.

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