Sejam
matrizes em
. Se
, mostre que:
;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes em . - Sabe-se que
(ou seja, e comutam).
A pergunta é: mostrar que
Passo 2
Lembretes importantes (propriedades de multiplicação de matrizes) que vamos usar:
- Definição:
significa . - Distributividade à esquerda e à direita:
para quaisquer matrizes com produtos definidos. - Associatividade da multiplicação:
Essas propriedades valem mesmo que a multiplicação de matrizes não seja, em geral, comutativa. Aqui a comutatividade é um dado extra:
.
Passo 3
Começamos desenvolvendo o produto
usando a distributividade (distribuir o produto sobre a soma). Primeiro distribuímos pela esquerda:
Expliquei: apliquei
com
,
,
.
Passo 4
Agora aplicamos distributividade novamente dentro de cada termo:
Substituindo na expressão do passo anterior:
Passo 5
Reescrevendo e agrupando os termos:
Aqui é que usamos o dado
: substituindo
por
(ou vice-versa) obtém-se
Os termos
e
se cancelam, ficando
Passo 6
Resumo do raciocínio em palavras: expandiu-se o produto usando distributividade, obteve-se dois termos cruzados
e
; como foi dado que
, esses termos se anulam, sobrando apenas
. Portanto a identidade vale.