Sejam A, B matrizes em M_{n}(\mathbb{R}). Se A B=B A, mostre que:
(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes em M_{n}(\mathbb{R}).
  • Sabe-se que AB=BA (ou seja, A e B comutam).
    A pergunta é: mostrar que
(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}.

Passo 2

Lembretes importantes (propriedades de multiplicação de matrizes) que vamos usar:
  • Definição: A^{2} significa A\cdot A.
  • Distributividade à esquerda e à direita: (X+Y)Z = XZ + YZ,\qquad Z(X+Y)=ZX+ZYpara quaisquer matrizes X,Y,Z com produtos definidos.
  • Associatividade da multiplicação: X(YZ)=(XY)Z.
Essas propriedades valem mesmo que a multiplicação de matrizes não seja, em geral, comutativa. Aqui a comutatividade é um dado extra: AB=BA.

Passo 3

Começamos desenvolvendo o produto (A-B)(A+B) usando a distributividade (distribuir o produto sobre a soma). Primeiro distribuímos pela esquerda:
(A-B)(A+B)=A(A+B)-B(A+B).
Expliquei: apliquei (X-Y)Z = XZ - YZ com X=A, Y=B, Z=A+B.

Passo 4

Agora aplicamos distributividade novamente dentro de cada termo:
A(A+B)=A^{2}+AB, \qquad B(A+B)=BA+B^{2}.
Substituindo na expressão do passo anterior:
(A-B)(A+B)=(A^{2}+AB)-(BA+B^{2}).

Passo 5

Reescrevendo e agrupando os termos:
(A-B)(A+B)=A^{2}+AB-BA-B^{2}.
Aqui é que usamos o dado AB=BA: substituindo BA por AB (ou vice-versa) obtém-se
A^{2}+AB-BA-B^{2}=A^{2}+AB-AB-B^{2}.
Os termos +AB e -AB se cancelam, ficando
(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}.

Passo 6

Resumo do raciocínio em palavras: expandiu-se o produto usando distributividade, obteve-se dois termos cruzados AB e -BA; como foi dado que AB=BA, esses termos se anulam, sobrando apenas A^{2}-B^{2}. Portanto a identidade vale.

Resposta

(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}

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