Decida sobre a convergência ou divergência das seguintes sequências:
an=n sen(pi2 n).

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=nsin!l(pi2nr)
e pede para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é cálculo de limite de sequência usando o limite notável
limxto0sin xx=1

Passo 2

Defina
xn=pi2n,
então xnto0 quando ntoinfty. Reescrevemos an em função de xn:
an = n,sin(xn) = sin(xn)1/n = sin(xn)xn;pi2

Passo 3

Como xnto0, vale o limite notável limntoinftysin(xn)xn=1. Logo,
limntoinftyan =limntoinftysin(xn)xn;pi2 =1cdotpi2 =pi2

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan=pi2

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