Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais V gerados pelas funções abaixo. Definamos D: V V como D(f)=d fd x. Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço V, ache a matriz que representa D e D^2 nos seguintes casos:
V é gerado por e^x sen(x), e^x cos (x).

Passo 1

O enunciado pede para representarmos a derivação
D:Vto V,;D(f)=dfdx
no espaço vetorial
V=spane^xsin x,;e^xcos x
usando como base justamente os vetores
f1=e^xsin x e f2=e^xcos x.
O conteúdo aqui é a representação de uma transformação linear numa base finita: basta calcular D(f1) e D(f2) e expressar cada resultado em coordenadas na base f1,f2.

Passo 2

Vamos achar D(f1). Como
f1(x)=e^xsin x,
pelo produto de funções,
D(f1)=ddxl(e^xsin xr) =e^xsin x + e^xcos x
Reconhecendo e^xsin x=f1 e e^xcos x=f2, conclui-se
D(f1)=f1 + f2

Passo 3

Agora achamos D(f2). Como
f2(x)=e^xcos x,
temos
D(f2)=ddxl(e^xcos xr) =e^xcos x - e^xsin x
Logo
D(f2)=f2 - f1

Passo 4

Com as imagens nos \emph{colunas} da matriz, escrevemos a matriz de D na base f1,f2. A primeira coluna são as coordenadas de D(f1) e a segunda coluna as de D(f2). Portanto,
[D]f1,f2 = 1 & -1 1 & ;1

Passo 5

Para obter D^2 podemos multiplicar essa matriz por si mesma ou aplicar D novamente aos geradores. Fazendo a multiplicação,
[D^2] = [D],[D] =1&-11&1 1&-11&1 =0&-22&0

Resposta

A matriz de D na base e^xsin x,e^xcos x é
1 & -1 1 & 1 ,
e a de D^2 é
0 & -2 2 & 0

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