Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais gerados pelas funções abaixo. Definamos como . Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço , ache a matriz que representa e nos seguintes casos: é gerado por .
Passo 1
O enunciado pede para representarmos a derivação
no espaço vetorial
usando como base justamente os vetores e .
O conteúdo aqui é a representação de uma transformação linear numa base finita: basta calcular e e expressar cada resultado em coordenadas na base .
Passo 2
Vamos achar . Como
pelo produto de funções,
Reconhecendo e , conclui-se
Passo 3
Agora achamos . Como
temos
Logo
Passo 4
Com as imagens nos \emph{colunas} da matriz, escrevemos a matriz de na base . A primeira coluna são as coordenadas de e a segunda coluna as de . Portanto,
Passo 5
Para obter D^2 podemos multiplicar essa matriz por si mesma ou aplicar D novamente aos geradores. Fazendo a multiplicação,