Decida sobre a convergência ou divergência das seguintes séries:
sumn=1^infty (-1)^n[ln (n+1)]^n.

Passo 1

O enunciado pede para decidir sobre a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n[ln(n+1)]^n
Estamos estudando séries numéricas e vamos verificar se ela converge absolutamente (usando o teste da raiz) ou condicionalmente.

Passo 2

Considere a série dos valores absolutos
sumn=1^infty gl|(-1)^n[ln(n+1)]^ngr| =sumn=1^infty1[ln(n+1)]^n
Aplique o teste da raiz: calcule
L ;=;limntoinftyraiz[n]1[ln(n+1)]^n =limntoinfty1ln(n+1)
Como ln(n+1)toinfty, segue que
L=0<1
Pelo teste da raiz, a série de termos absolutos converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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