Escreva cada edo abaixo como um sistema de primeira ordem:.
2 \ddot{x}-2 t^{2} \dot{x}+x=4 t e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação diferencial de segunda ordem
2ddotx-2t^2dotx+x=4t,e^t
num sistema de primeira ordem. O conteúdo aqui é a técnica de redução de ordem, em que definimos novas variáveis de estado para reescrever a EDO de ordem n como um sistema de ordem 1.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x1=x, x2=dotx
Então, por definição,
dotx1=dotx=x2

Passo 3

Precisamos expressar dotx2=ddotx. Da equação original temos
2ddotx=2t^2dotx-x+4t,e^t
Dividindo por 2, obtemos
ddotx =t^2dotx-tfrac12,x+2t,e^t
Em termos de (x1,x2), isso vira
dotx2 =t^2x2-tfrac12,x1+2t,e^t

Passo 4

Reunindo as duas equações, o sistema de primeira ordem é
dotx1=x2, dotx2=t^2,x2-tfrac12,x1+2t,e^t

Resposta

dotx1=x2, dotx2=t^2x2-tfrac12,x1+2t,e^t

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