Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais V gerados pelas funções abaixo. Definamos D: V V como D(f)=d fd x. Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço V, ache a matriz que representa D e D^2 nos seguintes casos:
V é gerado por e^2 x sen(3 x), e^2 x cos (3 x).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V gerado pelas funções
f1(x)=e^2xsin(3x), f2(x)=e^2xcos(3x),
e o operador linear D:Vto V dado por D(f)=f'.
O objetivo é achar a matriz de D e de D^2 nessa base f1,f2.

Passo 2

Calculamos D(f1) e D(f2) usando a regra do produto.
D(f1)=(e^2xsin(3x))' =2e^2xsin(3x)+3e^2xcos(3x) =2f1+3f2,
D(f2)=(e^2xcos(3x))' =2e^2xcos(3x)-3e^2xsin(3x) =-3f1+2f2

Passo 3

Nas coordenadas da base f1,f2, as colunas da matriz de D são os vetores de coeficientes de D(f1) e D(f2). Logo,
[D]= 2 & -3 3 & 2

Passo 4

Para obter D^2 podemos ou elevar [D] ao quadrado ou derivar de novo:
D^2(f1)=D(2f1+3f2)=2D(f1)+3D(f2) =2(2f1+3f2)+3(-3f1+2f2) =-5f1+12f2,
D^2(f2)=D(-3f1+2f2)=-3D(f1)+2D(f2) =-3(2f1+3f2)+2(-3f1+2f2) =-12f1-5f2
Assim, as colunas de [D^2] são os coeficientes de D^2(f1) e D^2(f2):
[D^2]= -5 & -12 12 & -5

Resposta

A matriz de D na base f1,f2 é
[D]= 2 & -3 3 & 2 ,
e a matriz de D^2 é
[D^2]= -5 & -12 12 & -5

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