Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
a_{n}=\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n(n)}};

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da sequência
a_{n}=\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)^{\frac{1}{n(n)}}.
Percebemos que o expoente é \frac{1}{n(n)}=\frac{1}{n^{2}}. Logo vamos estudar
a_{n}=\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)^{1/n^{2}}.
O objetivo é calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}.

Passo 2

Para lidar com potências do tipo “base vai a 0 e expoente vai a 0” transformamos em exponencial usando logaritmo:
a_{n} =\exp\Bigl(\ln a_{n}\Bigr) =\exp\Bigl(\ln\bigl((1/n)^{1/n^{2}}\bigr)\Bigr).
Como \ln\bigl(x^{\alpha}\bigr)=\alpha\ln x, temos
\ln a_{n} =\frac{1}{n^{2}}\;\ln\!\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr) =\frac{1}{n^{2}}\;(-\ln n) =-\frac{\ln n}{n^{2}}.

Passo 3

Agora estudamos o limite do expoente:
\lim_{n\to\infty}\Bigl(-\frac{\ln n}{n^{2}}\Bigr).
Sabemos que \ln n cresce muito mais devagar que n^{2}, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\Bigl(-\frac{\ln n}{n^{2}}\Bigr)=0.

Passo 4

Como \ln a_{n}\to 0, segue que
a_{n} =\exp\bigl(\ln a_{n}\bigr) \;\longrightarrow\; \exp(0)=1.
Portanto a sequência converge, e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1.

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