Para as sequências abaixo, associe-as às funções correspondentes e use Regra de l’Hôpital para calcular seus respectivos limites.
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}, x qualquer;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{x}{n}\Bigr)^{n},
sendo x um valor fixo qualquer. O tema é o limite exponencial clássico e vamos usar definições de logaritmo e a regra de l’Hôpital para tratá-lo.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \Bigl(1+\frac{x}{n}\Bigr)^{n}
e consideramos o logaritmo natural para trazer o expoente para frente:
\ln(a_{n}) = n\,\ln\!\Bigl(1+\frac{x}{n}\Bigr).
Depois encontraremos \lim_{n\to\infty}\ln(a_{n}) e, por fim, aplicaremos exponenciação para obter \lim_{n\to\infty}a_{n}.

Passo 3

Observamos que
\lim_{n\to\infty} \ln(a_{n}) = \lim_{n\to\infty} n\,\ln\!\Bigl(1+\frac{x}{n}\Bigr),
forma indeterminada \infty\cdot0. Reescrevemos como \tfrac{0}{0}:
n\,\ln\!\Bigl(1+\frac{x}{n}\Bigr) = \frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{x}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}}.
Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a n:
\frac{d}{dn}\Bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{x}{n}\bigr)\Bigr] = \frac{1}{1+\tfrac{x}{n}}\cdot\Bigl(-\frac{x}{n^{2}}\Bigr), \qquad \frac{d}{dn}\Bigl[\tfrac{1}{n}\Bigr] = -\frac{1}{n^{2}}.
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\lim_{n\to\infty}\ln(a_{n}) = \lim_{n\to\infty} \frac{-\frac{x}{n^{2}(1+\frac{x}{n})}}{-\frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{x}{1+\frac{x}{n}} = x.

Passo 4

Como \ln(a_{n})\to x, temos
a_{n} = \exp\bigl(\ln(a_{n})\bigr)\longrightarrow e^{x}.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{x}{n}\Bigr)^{n} = e^{x}.

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