Para as sequências abaixo, associe-as às funções correspondentes e use Regra de l’Hôpital para calcular seus respectivos limites.
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n)}{3 \sqrt{n}};

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite da sequência
\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{3\sqrt{n}}
usando a Regra de l’Hôpital. O conteúdo envolvido é o estudo de limites do tipo \infty/\infty e a aplicação da derivação de numerador e denominador para transformar esse tipo de indeterminação.

Passo 2

Primeiro associamos a sequência a uma função de variável real contínua. Seja
f(x) = \frac{\ln(x)}{3\sqrt{x}},\quad x>0.
Ao fazermos x\to\infty, temos \ln(x)\to\infty e 3\sqrt{x}\to\infty, caracterizando uma forma indeterminada \infty/\infty. Logo, podemos aplicar a Regra de l’Hôpital.

Passo 3

Pela Regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{3\sqrt{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)'}{\bigl(3\sqrt{x}\bigr)'} =\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{1}{x}}{\tfrac{d}{dx}\bigl(3x^{1/2}\bigr)}.
Calculamos a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{1/2}\bigr) =3\cdot\frac12\,x^{-1/2} =\frac{3}{2}\,x^{-1/2}.

Passo 4

Substituindo no quociente das derivadas, obtemos
\frac{\tfrac{1}{x}}{\tfrac{3}{2}x^{-1/2}} =\frac{1}{x}\,\cdot\frac{2}{3}x^{1/2} =\frac{2}{3}\,x^{-1/2} =\frac{2}{3\sqrt{x}}.

Passo 5

Finalmente, ao calcular o limite quando x\to\infty,
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{3\sqrt{x}} =0,
pois \sqrt{x} cresce sem limite, fazendo a fração tender a zero.

Resposta

0

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