Decida sobre a veracidade das afirmações abaixo justificando suas respostas
Se f é não é contínua em x=a então ela não é diferenciável em x=a.

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e que eu justifique a resposta:
Afirmativa: “Se f não é contínua em x=a então ela não é diferenciável em x=a.”
Informações fornecidas:
  • Temos uma função f.
  • Sabemos apenas que f não é contínua em x=a.
  • A tarefa é verificar se a conclusão " f não é diferenciável em x=a " segue sempre dessa hipótese, e justificar.

Passo 2

Definição de continuidade em x=a (explicação didática):
  • Dizemos que f é contínua em x=a quando o valor da função em a coincide com o limite da função quando x se aproxima de a:
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
  • Em palavras: ao nos aproximarmos de a pelos valores de x, os valores de f(x) chegam perto de f(a). Se isso não ocorre, dizemos que f não é contínua em a.

Passo 3

Definição de diferenciabilidade em x=a (explicação didática):
  • Dizemos que f é diferenciável em x=a se existir o limite
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
e esse limite for um número real finito.
  • Intuição: o quociente \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} mede a “inclinação média” entre x e a. Se ao aproximar x de a essa inclinação média converge para um único valor, esse valor é a derivada f'(a) e dizemos que f é diferenciável em a.

Passo 4

Prova de que diferenciabilidade implica continuidade (passo-chave):
  • Suponha que f seja diferenciável em x=a. Então por definição existe o número real f'(a) dado por
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
  • Escrevemos a diferença f(x)-f(a) como produto:
f(x)-f(a)=(x-a)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
  • Tomando limite quando x\to a em ambos os lados (e usando que o limite do produto é o produto dos limites quando ambos existem):
\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=\lim_{x\to a}(x-a)\cdot\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
  • Agora \lim_{x\to a}(x-a)=0 e \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a) (existente por hipótese). Portanto
\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=0\cdot f'(a)=0.
  • Conclusão: \lim_{x\to a}f(x)-f(a)=0, isto é,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a),
ou seja, f é contínua em x=a.

Passo 5

Use lógica (contrapositiva) para chegar à conclusão pedida:
  • A implicação provada no passo anterior é:
\text{se } f \text{ é diferenciável em } a \Rightarrow f \text{ é contínua em } a.éáéí
  • A contrapositiva dessa implicação é logicamente equivalente e diz:
\text{se } f \text{ não é contínua em } a \Rightarrow f \text{ não é diferenciável em } a.ãéíãéá
  • Portanto, a afirmativa do enunciado é verdadeira: a falta de continuidade em a impede que haja diferenciabilidade em a.

Passo 6

Ilustração com exemplos (para fixar a ideia):
  • Exemplo de função não contínua e, portanto, não diferenciável em 0\): tome \[f(x)=\begin{cases} 0,& x\neq 0,\\[4pt] 1,& x=0. \end{cases}
Aqui \lim_{x\to 0}f(x)=0\neq f(0)=1\], logo \(f não é contínua em 0 e, pela propriedade anterior, não pode ser diferenciável em 0.
  • Observação útil: o recíproco não é verdadeiro — uma função pode ser contínua e ainda assim não ser diferenciável. Ex.: f(x)=|x| é contínua em 0 mas não diferenciável em 0 porque os limites laterais do quociente diferencial são diferentes (esquerda -1, direita 1).]

Resposta

Verdadeiro.

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