Decida sobre a veracidade das afirmações abaixo justificando suas respostas
Se
é não é contínua em
então ela não é diferenciável em
.
Se
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e que eu justifique a resposta:
Afirmativa: “Se
não é contínua em
então ela não é diferenciável em
.”
Informações fornecidas:
- Temos uma função
. - Sabemos apenas que
não é contínua em . - A tarefa é verificar se a conclusão "
não é diferenciável em " segue sempre dessa hipótese, e justificar.
Passo 2
Definição de continuidade em
(explicação didática):
- Dizemos que
é contínua em quando o valor da função em coincide com o limite da função quando se aproxima de :
- Em palavras: ao nos aproximarmos de
pelos valores de , os valores de chegam perto de . Se isso não ocorre, dizemos que não é contínua em .
Passo 3
Definição de diferenciabilidade em
(explicação didática):
- Dizemos que
é diferenciável em se existir o limite
e esse limite for um número real finito.
- Intuição: o quociente
mede a “inclinação média” entre e . Se ao aproximar de essa inclinação média converge para um único valor, esse valor é a derivada e dizemos que é diferenciável em .
Passo 4
Prova de que diferenciabilidade implica continuidade (passo-chave):
- Suponha que
seja diferenciável em . Então por definição existe o número real dado por
- Escrevemos a diferença
como produto:
- Tomando limite quando
em ambos os lados (e usando que o limite do produto é o produto dos limites quando ambos existem):
- Agora
e (existente por hipótese). Portanto
- Conclusão:
, isto é,
ou seja,
é contínua em
.
Passo 5
Use lógica (contrapositiva) para chegar à conclusão pedida:
- A implicação provada no passo anterior é:
- A contrapositiva dessa implicação é logicamente equivalente e diz:
- Portanto, a afirmativa do enunciado é verdadeira: a falta de continuidade em
impede que haja diferenciabilidade em .
Passo 6
Ilustração com exemplos (para fixar a ideia):
- Exemplo de função não contínua e, portanto, não diferenciável em
Aqui
não é contínua em
e, pela propriedade anterior, não pode ser diferenciável em
.
- Observação útil: o recíproco não é verdadeiro — uma função pode ser contínua e ainda assim não ser diferenciável. Ex.:
é contínua em mas não diferenciável em porque os limites laterais do quociente diferencial são diferentes (esquerda , direita ).]
Resposta
Verdadeiro.