Determine as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada
. Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
- A função contém duas parcelas somadas/subtraídas:
e . - A raiz
exige para a função estar definida. - A função
está definida quando . - A derivada que procuramos existe, em princípio, onde ambas as derivadas parciais existem — isto é, normalmente para
e . (Em a derivada da raiz não existe finitamente.)
Passo 2
Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar — explicadinhas, sem pressa:
- Regra da linearidade: a derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas. Ou seja, se
então . - Derivada de potência (regra do poder): se
com real, então . Em particular, e sua derivada é . - Derivada da função secante:
. Vou mostrar rapidinho por que isso vale: - Escrevemos
. - Aplicando a regra da cadeia e a derivada de
(que é ):
- Usando
e , obtemos
Pronto: . - Escrevemos
Passo 3
Aplicando a linearidade da derivada à função
:
Ou seja, derivamos cada parcela separadamente e mantemos o sinal.
Passo 4
Derivada da primeira parcela
:
Usando o resultado do passo 2,
Usando o resultado do passo 2,
Passo 5
Derivada da segunda parcela
:
- Escrevo
. - Pela regra da potência,
. - Multiplicando pelo coeficiente
, temos
- Reescrevendo em forma de raiz,
Lembre que essa expressão faz sentido para
(para
a derivada da raiz é inexistente finitamente).
Passo 6
Juntando as duas parcelas derivadas do Passo 4 e do Passo 5, obtemos a derivada final:
E anotando o domínio onde essa derivada está bem definida:
e
.