Determine as derivadas das funções abaixo:
h(t)=\operatorname{sec} (t)-4 \sqrt{t}

Passo 1

O enunciado dá a função
h(t)=\operatorname{sec}(t)-4\sqrt{t}
e pede para determinar a derivada h'(t). Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
  • A função contém duas parcelas somadas/subtraídas: \operatorname{sec}(t) e -4\sqrt{t}.
  • A raiz \sqrt{t} exige t\ge 0 para a função estar definida.
  • A função \operatorname{sec}(t) está definida quando \cos(t)\neq 0.
  • A derivada que procuramos existe, em princípio, onde ambas as derivadas parciais existem — isto é, normalmente para t>0 e \cos(t)\neq 0. (Em t=0 a derivada da raiz não existe finitamente.)

Passo 2

Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar — explicadinhas, sem pressa:
  • Regra da linearidade: a derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas. Ou seja, se f(t)=u(t)+v(t) então f'(t)=u'(t)+v'(t).
  • Derivada de potência (regra do poder): se u(t)=t^{n} com n real, então u'(t)=n t^{n-1}. Em particular, \sqrt{t}=t^{1/2} e sua derivada é \tfrac{1}{2}t^{-1/2}.
  • Derivada da função secante: \dfrac{d}{dt}\operatorname{sec}(t)=\operatorname{sec}(t)\tan(t). Vou mostrar rapidinho por que isso vale:
    • Escrevemos \operatorname{sec}(t)=(\cos t)^{-1}.
    • Aplicando a regra da cadeia e a derivada de \cos t (que é -\sin t):
    \frac{d}{dt}(\cos t)^{-1} = -1\cdot(\cos t)^{-2}\cdot(-\sin t)=\frac{\sin t}{\cos^2 t}.
    • Usando \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} e \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}, obtemos
    \frac{\sin t}{\cos^2 t}=\left(\frac{1}{\cos t}\right)\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)=\operatorname{sec} t\cdot \tan t.Pronto: \dfrac{d}{dt}\operatorname{sec}(t)=\operatorname{sec}(t)\tan(t).

Passo 3

Aplicando a linearidade da derivada à função h(t):
h'(t)=\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec}(t)\big)-\frac{d}{dt}\big(4\sqrt{t}\big).
Ou seja, derivamos cada parcela separadamente e mantemos o sinal.

Passo 4

Derivada da primeira parcela \operatorname{sec}(t):
Usando o resultado do passo 2,
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec}(t)\big)=\operatorname{sec}(t)\tan(t).

Passo 5

Derivada da segunda parcela -4\sqrt{t}:
  • Escrevo \sqrt{t}=t^{1/2}.
  • Pela regra da potência, \dfrac{d}{dt}t^{1/2}=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}.
  • Multiplicando pelo coeficiente -4, temos
\frac{d}{dt}\big(-4\sqrt{t}\big)=-4\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2}=-2t^{-1/2}.
  • Reescrevendo em forma de raiz,
-2t^{-1/2}=-\frac{2}{\sqrt{t}}.
Lembre que essa expressão faz sentido para t>0 (para t=0 a derivada da raiz é inexistente finitamente).

Passo 6

Juntando as duas parcelas derivadas do Passo 4 e do Passo 5, obtemos a derivada final:
h'(t)=\operatorname{sec}(t)\tan(t)-\frac{2}{\sqrt{t}}.
E anotando o domínio onde essa derivada está bem definida: t>0 e \cos(t)\neq 0.

Resposta

h'(t)=\operatorname{sec}(t)\tan(t)-\frac{2}{\sqrt{t}}

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