Decida o tipo da superfície quádrica e descreva o traço obtido pela interseção com o plano dado.
x^2+(y4)^2+z^2=1, z=1/4.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádrica
x^2+l(tfracy4r)^2+z^2=1
e pede para intersectá-la com o plano z=1/4. O conteúdo aqui é identificação de superfícies quádricas (aqui um elipsoide) e cálculo do traço (uma cônica) ao cortar por um plano.

Passo 2

Primeiro identificamos o tipo da superfície quádrica: todos os termos estão somando quadrados igual a 1, sem sinais mistos e sem subtrações, logo é um elipsoide.

Passo 3

Para achar o traço, substituímos z=1/4 na equação do elipsoide:
x^2+l(tfracy4r)^2+l(tfrac14r)^2=1

Passo 4

Agora isolamos os termos em x e y:
x^2+l(tfracy4r)^2=1-tfrac116=tfrac1516

Passo 5

Essa é a equação de uma elipse no plano z=1/4. Para pôr no formato padrão, dividimos ambos os lados por 15/16:
x^215/16+(y/4)^215/16=1

Passo 6

Ou seja,
x^215/16+y^215=1,

Passo 7

da qual vemos que os semi-eixos da elipse são
ax=raiztfrac1516=raiz154, ay=raiz15,

Passo 8

e está localizada no plano z=1/4, centrada em $(0,0,1/4).

Resposta

A superfície quádru­rica é um elipsoide. O traço para z=1/4 é a elipse no plano z=1/4 dada por
x^215/16+y^215=1,
com semi-eixos tfracraiz154 (eixo em x) e raiz15 (eixo em y).

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