Decida se os vetores a seguir são LI ou LD.
u=(0,0,3), v=(0,-2,1), w=(0,1,3), t= (1, 0, 0);

Passo 1

O enunciado fornece quatro vetores em R^3,
vec u=(0,0,3), vec v=(0,-2,1), vec w=(0,1,3) e vec t=(1,0,0),
e pede para decidir se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).
O conteúdo aqui é o conceito de dimensão de um espaço vetorial e a relação com o número de vetores.

Passo 2

Em R^n, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD, pois não é possível que todos sejam extremamente “ortogonais” num espaço de dimensão menor.
Aqui temos 4 vetores em R^3 e 4>3, logo sem precisar de mais cálculo concluímos que o conjunto é LD.

Passo 3

Para reforçar, podemos achar explicitamente uma combinação não trivial que dê o vetor zero. Suponha
a,vec t + b,vec u + c,vec v + d,vec w = (0,0,0)
Das componentes:
1. primeira: acdot1 + 0 = 0 Rightarrow a=0.
2. segunda: -2c + d = 0 Rightarrow d=2c.
3. terceira: 3b + c + 3d = 0 Rightarrow 3b + c + 3(2c)=3b+7c=0 Rightarrow b=-tfrac73c.
Tomando c=3 obtemos b=-7, d=6 e a=0. Assim
-7,vec u + 3,vec v + 6,vec w = vec 0,
que mostra uma dependência não trivial.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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