Show that the curve
(also a conchoid) has the line
as a horizontal asymptote by showing that
. Use this fact to help sketch the conchoid.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede para mostrar que a reta
é um assíntota horizontal, exibindo
.
Para isso usaremos a relação entre coordenadas cartesianas e polares, em especial
Para isso usaremos a relação entre coordenadas cartesianas e polares, em especial
Passo 2
Escrevemos
Nos pontos em que
ocorre quando
, isto é, quando
(ângulos
ou
). Nesses limites
logo
o que prova que
é assíntota horizontal.
Passo 3
Para entender o formato da curva, achamos onde
:
Nesses ângulos a curva passa pela origem, fechando um laço no semiplano superior.
Passo 4
No laço superior,
, temos
que atinge máximo em
, dando
. O ponto correspondente é
Passo 5
Para
,
e
, obtém-se um ramo no semiplano inferior. Em particular em
temos
marcando o ponto mais “baixo” do ramo. À medida que
ou
,
e
, e desse modo
, confirmando que as duas “pontas” desse ramo tendem assintoticamente à reta
.
Resposta
A curva tem um laço fechado no semiplano superior, de vértices na origem e ápice em
, e um ramo aberto no semiplano inferior que desce até
e se estende para
aproximando-se de
, a assíntota horizontal.