Show that the curve r=2-csc theta (also a conchoid) has the line y=-1 as a horizontal asymptote by showing that lim r pm infty y=-1. Use this fact to help sketch the conchoid.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=2-csctheta
e pede para mostrar que a reta y=-1 é um assíntota horizontal, exibindo
limrtopminftyy=-1.
Para isso usaremos a relação entre coordenadas cartesianas e polares, em especial
y=rsintheta

Passo 2

Escrevemos
y=rsintheta=l(2-cscthetar)sintheta =2sintheta-1
Nos pontos em que rtopminfty ocorre quando cscthetatopminfty, isto é, quando sinthetato0 (ângulos thetato0 ou thetatopi). Nesses limites
limthetato0y =limthetatopiy =2cdot0-1=-1,
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limrtopminftyy=-1,
o que prova que y=-1 é assíntota horizontal.

Passo 3

Para entender o formato da curva, achamos onde r=0:
2-csctheta=0;Longrightarrow;csctheta=2;Longrightarrow;sintheta=tfrac12 ;Longrightarrow;theta=tfracpi6 ou tfrac5pi6
Nesses ângulos a curva passa pela origem, fechando um laço no semiplano superior.

Passo 4

No laço superior, thetain[pi/6,5pi/6], temos
y=2sintheta-1
que atinge máximo em theta=pi/2, dando y=2cdot1-1=1. O ponto correspondente é
rl(tfracpi2r)=2-1=1,(x,y)=(0,1)

Passo 5

Para pi<theta<2pi, sintheta<0 e r=2-csctheta>0, obtém-se um ramo no semiplano inferior. Em particular em theta=3pi/2 temos
r=2-(-1)=3, y=3cdot(-1)=-3,
marcando o ponto mais “baixo” do ramo. À medida que thetatopi^+ ou thetato2pi^-, sinthetato0 e rto+infty, e desse modo yto-1, confirmando que as duas “pontas” desse ramo tendem assintoticamente à reta y=-1.

Resposta

A curva tem um laço fechado no semiplano superior, de vértices na origem e ápice em (0,1), e um ramo aberto no semiplano inferior que desce até (0,-3) e se estende para xtopminfty aproximando-se de y=-1, a assíntota horizontal.

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