Decide which of the following functions are integrable on [0, 2], and calculate the integral when you can.
(i) f(x)=llx, & 0 <= x<1 x-2, & 1 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes em [0,2]: para 0≤x<1 temos f(x)=x e para 1≤x≤2 temos f(x)=x−2. O objetivo é decidir se f é integrável em [0,2] e, se for, calcular ∫₀²f(x)dx.

Passo 2

Pela teoria de Riemann, uma função é integrável num intervalo fechado se o conjunto de pontos de descontinuidade tiver medida zero. Aqui f só tem uma descontinuidade (salto) em x=1, que é um conjunto finito, portanto de medida zero. Logo, f é Riemann-integrável em [0,2].

Passo 3

Para calcular a integral, dividimos em duas partes conforme a definição de f:
Primeiro pedaço:
integral0^1x,dx=l[x^22r]0^1=1^22-0=12
Segundo pedaço:
integral1^2(x-2),dx=integral1^2x,dx-2integral1^21,dx
Calculando cada um:
integral1^2x,dx=l[x^22r]1^2=42-12=32,
2integral1^21,dx=2[x]1^2=2(2-1)=2
Então
integral1^2(x-2),dx=32-2=-12
Somando as duas partes,
integral0^2f(x),dx=12+l(-12r)=0

Resposta

f é integrável em [0,2] e integral0^2f(x),dx=0.

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