Decide which of the following functions are integrable on [0, 2], and calculate the integral when you can.
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes em [0,2]: para 0≤x<1 temos f(x)=x e para 1≤x≤2 temos f(x)=x−2. O objetivo é decidir se f é integrável em [0,2] e, se for, calcular ∫₀²f(x)dx.
Passo 2
Pela teoria de Riemann, uma função é integrável num intervalo fechado se o conjunto de pontos de descontinuidade tiver medida zero. Aqui f só tem uma descontinuidade (salto) em x=1, que é um conjunto finito, portanto de medida zero. Logo, f é Riemann-integrável em [0,2].
Passo 3
Para calcular a integral, dividimos em duas partes conforme a definição de f:
Primeiro pedaço:
Segundo pedaço:
Calculando cada um:
Então
Somando as duas partes,
Resposta
f é integrável em [0,2] e
.