Prove that
integral0^x sin tt+1 d t>0
for all x>0.

Passo 1

Estamos com a função F(x)=integral0^xsin tt+1,dt e queremos mostrar que F(x)>0 para todo x>0. Vamos usar comparação de integrais e periodicidade de sin t.

Passo 2

Para começar note que, em tin[0,x], temos t+1<= x+1. Logo
1t+1>=1x+1,
Isso implica
F(x)=integral0^xsin tt+1,dt>=1x+1integral0^xsin t,dt
e como
integral0^xsin t,dt=1-cos x,
obtemos
F(x)>=1-cos xx+1,

Passo 3

Para todo x>0 temos 1-cos x>=0, e se xneq2kpi então 1-cos x>0. Assim
F(x)>0para todo x>0 que não seja múãú

Passo 4

Agora falta tratar o caso x=2kpi. Seja kinN. Divida a integral em k pedaços de comprimento 2pi:
F(2kpi)=sumj=0^k-1integral2pi j^2pi(j+1)sin tt+1,dt
Em cada intervalo fazemos a troca de variável t=2pi j+u, com uin[0,2pi]. Então
integral2pi j^2pi(j+1)sin tt+1,dt=integral0^2pisin uu+1+2pi j,du
E essa integral de 0 a 2pi se separa em dois pedaços de comprimento pi e usa simetria de sin u:
integral0^2pisin uu+1+2pi j,du=integral0^pisin ul(1u+1+2pi j-1u+pi+1+2pi jr)du

Passo 5

Dentro de [0,pi] temos sin u>0 e claramente
1u+1+2pi j-1u+pi+1+2pi j=pi(u+1+2pi j)(u+pi+1+2pi j)>0
Logo cada pedaço é positivo, e somando k partes positivas dá
F(2kpi)>0

Passo 6

Portanto unimos os dois casos e concluímos que F(x)>0 para todo x>0.

Resposta

\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t+1},dt>0\quad\forall x>0

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