Prove that
for all
.
Passo 1
Estamos com a função
e queremos mostrar que
para todo
. Vamos usar comparação de integrais e periodicidade de
.
Passo 2
Para começar note que, em
, temos
. Logo
Isso implica
e como
obtemos
Passo 3
Para todo
temos
, e se
então
. Assim
Passo 4
Agora falta tratar o caso
. Seja
. Divida a integral em
pedaços de comprimento
:
Em cada intervalo fazemos a troca de variável
, com
. Então
E essa integral de
a
se separa em dois pedaços de comprimento
e usa simetria de
:
Passo 5
Dentro de
temos
e claramente
Logo cada pedaço é positivo, e somando
partes positivas dá
Passo 6
Portanto unimos os dois casos e concluímos que
para todo
.
Resposta
\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t+1},dt>0\quad\forall x>0