Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=−3 dada por
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n,(x+3){n}}{4{n+1}}
$$
Conteúdo: teste da razão para séries de potências e análise nos extremos do intervalo.
Conteúdo: teste da razão para séries de potências e análise nos extremos do intervalo.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, definimos o termo geral
Calculamos
Quando n→∞, (n+1)/n→1, então o limite L do teste é
A série converge se L<1, ou seja se
[
|x+3|<4.
|x+3|<4.
Passo 3
Da condição |x+3|<4, obtemos o raio de convergência
e o intervalo aberto
Passo 4
Para verificar a convergência nos extremos x=−7 e x=1, substituímos em cada caso:
- Em x=−7 temos x+3=−4 e
cuja soma diverge porque os termos n(−1)^n não tendem a zero.
2) Em x=1 temos x+3=4 e
2) Em x=1 temos x+3=4 e
que também diverge já que é uma soma de n.
Passo 5
Como ambos os extremos divergem, o intervalo de convergência permanece aberto.
Resposta
Raio de convergência R = 4; intervalo de convergência (−7, 1).