Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty n(x+3)^n4^n+1

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=−3 dada por
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n,(x+3){n}}{4{n+1}}
$$
Conteúdo: teste da razão para séries de potências e análise nos extremos do intervalo.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, definimos o termo geral
an = n,(x+3)^n4^n+1
Calculamos
|an+1an| = (n+1),|x+3|^n+1/4^n+2n,|x+3|^n/4^n+1 = n+1ncdot|x+3|4
Quando n→∞, (n+1)/n→1, então o limite L do teste é
L = |x+3|4
A série converge se L<1, ou seja se
[
|x+3|<4.

Passo 3

Da condição |x+3|<4, obtemos o raio de convergência
R = 4
e o intervalo aberto
-4 < x+3 < 4 Longrightarrow -7 < x < 1

Passo 4

Para verificar a convergência nos extremos x=−7 e x=1, substituímos em cada caso:
  1. Em x=−7 temos x+3=−4 e
sumn=0^infty n(-4)^n4^n+1 = 14sumn=0^infty n(-1)^n,
cuja soma diverge porque os termos n(−1)^n não tendem a zero.
2) Em x=1 temos x+3=4 e
sumn=0^infty n(4)^n4^n+1 = 14sumn=0^infty n,
que também diverge já que é uma soma de n.

Passo 5

Como ambos os extremos divergem, o intervalo de convergência permanece aberto.

Resposta

Raio de convergência R = 4; intervalo de convergência (−7, 1).

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