Decidir em cada caso se (G, *) é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(a) G=\mathbb{R}_{>0}, a * b=a^{b}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto G=\mathbb{R}_{>0} (os reais estritamente positivos) e a operação binária definida por
a*b = a^{b}
para a,b\in\mathbb{R}_{>0}. A tarefa é decidir se (G,*) é um grupo e, se for grupo, dizer se é abeliano. Vou listar claramente o que preciso verificar (os requisitos do enunciado):
  • Verificar fecho: para a,b\in G, a*b\in G?
  • Verificar associatividade: para todo a,b,c\in G, (a*b)*c = a*(b*c)?
  • Verificar existência de elemento identidade e\in G tal que para todo a\in G, e*a=a e a*e=a.
  • Verificar existência de inversos: para cada a\in G existe a^{-1}\in G tal que a*a^{-1}=a^{-1}*a=e.
  • Se todas as anteriores forem verdadeiras, verificar comutatividade: a*b=b*a para todos a,b\in G.

Passo 2

Rápida lembrança do que cada axioma significa (para eu te ajudar a memorizar na prova):
  • Fecho: a operação aplicada a elementos de G deve produzir um elemento ainda em G.
  • Associatividade: a ordem de agrupar três elementos não altera o resultado da operação.
  • Identidade: existe e\in G que não altera nenhum elemento quando usada à esquerda e à direita.
  • Inverso: cada elemento tem outro que “anula” a ação, produzindo a identidade.
  • Comutatividade (abelianidade): a ordem dos fatores não altera o resultado da operação.
    Vou checar cada item em ordem; se qualquer um falhar já basta para concluir que não é grupo, mas vou explicar cada passo para você aprender bem.

Passo 3

Tomando a,b\in\mathbb{R}_{>0}, temos a^{b}=\exp\!\big(b\ln a\big). Como a>0 implica \ln a é bem definido e \exp dá sempre um número positivo, conclui-se que a^{b}>0. Portanto
a*b = a^{b}\in\mathbb{R}_{>0},
ou seja, a operação é fechada em G. Fecho: OK.

Passo 4

Calculemos as duas associações possíveis para a,b,c\in G:
(a*b)*c = (a^{b})^{c} = a^{b c},
a*(b*c) = a^{(b^{c})}.
Para que a operação fosse associativa, precisaríamos ter sempre
a^{b c} = a^{(b^{c})}\quad\text{para todo }a,b,c\in\mathbb{R}_{>0}.
Isso equivale a exigir b c = b^{c} para todo b,c com a\neq 1 (podemos tomar logaritmo quando a\neq 1). Essa igualdade não é verdadeira em geral. Vou dar um contraexemplo numérico simples para ficar cristalino.
Considere a=2, b=\tfrac{1}{2} e c=2. Então
(a*b)*c = (2^{1/2})^{2} = 2^{(1/2)\cdot 2} = 2^{1} = 2,
enquanto
a*(b*c) = 2^{( (1/2)^{2} )} = 2^{1/4} \approx 1{,}189.
Como 2 \neq 2^{1/4}, temos (a*b)*c \neq a*(b*c). Logo a operação NÃO é associativa.
Comentário didático: exponentiação de reias positivas não é uma operação que se comporte como multiplicação ou adição no que toca à associatividade — o expoente está num papel diferente do que a base, então agrupar de formas distintas produz resultados diferentes. Esse é um ponto clássico para provas: experimente sempre um contraexemplo simples com números como 2 e \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Como a associatividade falhou, (G,*) já não pode ser um grupo — um grupo exige obrigatoriamente associatividade. Mesmo assim, para fixar bem a ideia, vamos ver o que acontece com identidade e inversos (isso também ajuda na prova, para justificar rapidamente).
Procurando um elemento e\in G tal que a*e=a para todo a, temos
a*e = a^{e} = a.
Para a\neq 1 podemos tomar log e obter e=1. Assim e=1 satisfaz a*1=a para todo a (ou seja, 1 é identidade à direita). Porém verificando à esquerda:
1*a = 1^{a} = 1 \neq a\quad\text{(em geral)}.
Logo não existe um elemento que seja identidade simultaneamente à esquerda e à direita para todos os a. Em palavras: 1 é apenas identidade à direita, não é identidade bilateral. Um elemento identidade de grupo precisa ser bilateral, então não existe identidade de grupo para essa operação.
Sem identidade bilateral, a noção de inverso (que requer a*a^{-1}=a^{-1}*a=e) também não se estabelece de maneira apropriada para formar um grupo.

Passo 6

Resumindo:
  • A operação é fechada.
  • A operação NÃO é associativa (há contraexemplo).
  • Não existe identidade bilateral (apenas identidade à direita 1), portanto não há inversos no sentido de grupo.
Portanto (\mathbb{R}_{>0},*) NÃO é um grupo. Como não é grupo, a pergunta sobre ser abeliano (comutativo) é irrelevante no sentido de grupos: só se pergunta se é abeliano quando já se tem um grupo. (Se alguém insistir em verificar comutatividade, note que em geral a^{b}\neq b^{a} também; por exemplo 2^{3}=8 e 3^{2}=9, não comutativo.)

Resposta

Não é grupo.

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