Decidir em cada caso se
é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
(os reais estritamente positivos) e a operação binária definida por
para
. A tarefa é decidir se
é um grupo e, se for grupo, dizer se é abeliano. Vou listar claramente o que preciso verificar (os requisitos do enunciado):
- Verificar fecho: para
, ? - Verificar associatividade: para todo
, ? - Verificar existência de elemento identidade
tal que para todo , e . - Verificar existência de inversos: para cada
existe tal que . - Se todas as anteriores forem verdadeiras, verificar comutatividade:
para todos .
Passo 2
Rápida lembrança do que cada axioma significa (para eu te ajudar a memorizar na prova):
- Fecho: a operação aplicada a elementos de
deve produzir um elemento ainda em . - Associatividade: a ordem de agrupar três elementos não altera o resultado da operação.
- Identidade: existe
que não altera nenhum elemento quando usada à esquerda e à direita. - Inverso: cada elemento tem outro que “anula” a ação, produzindo a identidade.
- Comutatividade (abelianidade): a ordem dos fatores não altera o resultado da operação.
Vou checar cada item em ordem; se qualquer um falhar já basta para concluir que não é grupo, mas vou explicar cada passo para você aprender bem.
Passo 3
Tomando
, temos
. Como
implica
é bem definido e
dá sempre um número positivo, conclui-se que
. Portanto
ou seja, a operação é fechada em
. Fecho: OK.
Passo 4
Calculemos as duas associações possíveis para
:
Para que a operação fosse associativa, precisaríamos ter sempre
Isso equivale a exigir
para todo
com
(podemos tomar logaritmo quando
). Essa igualdade não é verdadeira em geral. Vou dar um contraexemplo numérico simples para ficar cristalino.
Considere
,
e
. Então
enquanto
Como
, temos
. Logo a operação NÃO é associativa.
Comentário didático: exponentiação de reias positivas não é uma operação que se comporte como multiplicação ou adição no que toca à associatividade — o expoente está num papel diferente do que a base, então agrupar de formas distintas produz resultados diferentes. Esse é um ponto clássico para provas: experimente sempre um contraexemplo simples com números como
e
.
Passo 5
Como a associatividade falhou,
já não pode ser um grupo — um grupo exige obrigatoriamente associatividade. Mesmo assim, para fixar bem a ideia, vamos ver o que acontece com identidade e inversos (isso também ajuda na prova, para justificar rapidamente).
Procurando um elemento
tal que
para todo
, temos
Para
podemos tomar log e obter
. Assim
satisfaz
para todo
(ou seja,
é identidade à direita). Porém verificando à esquerda:
Logo não existe um elemento que seja identidade simultaneamente à esquerda e à direita para todos os
. Em palavras:
é apenas identidade à direita, não é identidade bilateral. Um elemento identidade de grupo precisa ser bilateral, então não existe identidade de grupo para essa operação.
Sem identidade bilateral, a noção de inverso (que requer
) também não se estabelece de maneira apropriada para formar um grupo.
Passo 6
Resumindo:
- A operação é fechada.
- A operação NÃO é associativa (há contraexemplo).
- Não existe identidade bilateral (apenas identidade à direita
), portanto não há inversos no sentido de grupo.
Portanto
NÃO é um grupo. Como não é grupo, a pergunta sobre ser abeliano (comutativo) é irrelevante no sentido de grupos: só se pergunta se é abeliano quando já se tem um grupo. (Se alguém insistir em verificar comutatividade, note que em geral
também; por exemplo
e
, não comutativo.)
Resposta
Não é grupo.